ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t} = \frac{(\sin t + \cos t)^2}{\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} = \frac{(\sin t + \cos t)^2}{(\sin t + \cos t)^2} = 1$;

Ответ: 1.

б) $\frac{1 — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2} = \frac{(\cos t — \sin t)^2}{(\cos t — \sin t)^2} = 1$;

Ответ: 1.

Для каждого из предложенных выражений мы будем использовать стандартные тригонометрические тождества, такие как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, и пошагово упрощать выражения.

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t}$

Шаг 1. Разбираем числитель и знаменатель

Исходное выражение:

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t}$$

Разберем числитель $(\sin t + \cos t)^2$ с помощью формулы квадрата суммы:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t.$$

Теперь разберемся со знаменателем $1 + 2 \sin t \cos t$:

$$1 + 2 \sin t \cos t.$$

В знаменателе мы видим, что $1 = \sin^2 t + \cos^2 t$ (по основному тождеству тригонометрии):

$$1 + 2 \sin t \cos t = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cos t.$$

Шаг 2. Подставляем выражения в исходное уравнение

Теперь подставляем упрощенные числитель и знаменатель:

$$\frac{\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cos t}.$$

Как видно, числитель и знаменатель идентичны, так как $\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cos t$ встречается и в числителе, и в знаменателе. Поэтому мы можем упростить выражение:

$$\frac{(\sin t + \cos t)^2}{(\sin t + \cos t)^2} = 1.$$

Ответ:

$$1.$$

б) $\frac{1 — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2}$

Шаг 1. Разбираем числитель и знаменатель

Исходное выражение:

$$\frac{1 — 2 \sin t \cos t}{(\cos t — \sin t)^2}.$$

Начнем с числителя $1 — 2 \sin t \cos t$, который уже записан в упрощенной форме.

Теперь разберем знаменатель $(\cos t — \sin t)^2$. Используем формулу квадрата разности:

$$(\cos t — \sin t)^2 = \cos^2 t — 2 \sin t \cos t + \sin^2 t.$$

Таким образом, знаменатель $(\cos t — \sin t)^2$ упрощается:

$$\cos^2 t — 2 \sin t \cos t + \sin^2 t.$$

Шаг 2. Подставляем в исходное выражение

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{1 — 2 \sin t \cos t}{\cos^2 t — 2 \sin t \cos t + \sin^2 t}.$$

Обратите внимание, что в знаменателе выражение $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ (по основному тождеству тригонометрии). Следовательно, знаменатель можно переписать как:

$$1 — 2 \sin t \cos t.$$

Теперь видим, что числитель и знаменатель одинаковы:

$$\frac{1 — 2 \sin t \cos t}{1 — 2 \sin t \cos t} = 1.$$

Ответ:

$$1.$$

Итоговое решение:

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2}{1 + 2 \sin t \cdot \cos t} = 1$

б) $\frac{1 — 2 \sin t \cdot \cos t}{(\cos t — \sin t)^2} = 1$