ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $s = f(t)$, если:

а) $f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t)$;

$$f(t) = (\cos^2 t + \sin^2 t) — (\cos^2 t — \sin^2 t) = 2 \sin^2 t;$$ $$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 t \leq 1;$$ $$0 \leq 2 \sin^2 t \leq 2;$$

Ответ: $0; 2$.

б) $f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t$;

$$f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = (\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin^2 t = \cos^2 t;$$ $$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 t \leq 1;$$

Ответ: $0; 1$.

в) $f(t) = \cos^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t — 1$;

$$f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5 \cos^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t);$$ $$f(t) = \sin^2 t + 4 \cos^2 t — \sin^2 t = 4 \cos^2 t;$$ $$-1 \leq \cos t \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 t \leq 1;$$ $$0 \leq 4 \cos^2 t \leq 4;$$

Ответ: $0; 4$.

г) $f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$;

$$f(t) = \sin t + 3 (\sin^2 t + \cos^2 t) = \sin t + 3;$$ $$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$2 \leq \sin t + 3 \leq 4;$$

Ответ: $2; 4$.

а)

Дано:

$$f(t) = 1 — (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Шаг 1: Раскроем скобки:

$$f(t) = 1 — \cos^2 t + \sin^2 t$$

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 t + \sin^2 t = 1 \Rightarrow 1 = \cos^2 t + \sin^2 t$$

Заменим 1 в выражении:

$$f(t) = (\cos^2 t + \sin^2 t) — \cos^2 t + \sin^2 t$$

Сократим:

$$f(t) = \sin^2 t + \sin^2 t = 2 \sin^2 t$$

Шаг 3: Теперь найдём границы значения $f(t) = 2 \sin^2 t$

$$-1 \leq \sin t \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^2 t \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 2 \sin^2 t \leq 2$$

Ответ:
Минимум: $0$, максимум: $2$
Ответ: $0; 2$

б)

Дано:

$$f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t$$

Шаг 1: Заменим $\operatorname{tg} t = \dfrac{\sin t}{\cos t}$, получаем:

$$f(t) = 1 — \sin t \cdot \cos t \cdot \dfrac{\sin t}{\cos t}$$

Сократим $\cos t$ (если $\cos t \neq 0$):

$$f(t) = 1 — \sin^2 t$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow 1 — \sin^2 t = \cos^2 t$$

Итак:

$$f(t) = \cos^2 t$$

Шаг 3: Найдём границы:

$$-1 \leq \cos t \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \cos^2 t \leq 1$$

Ответ:
Минимум: $0$, максимум: $1$
Ответ: $0; 1$

в)

Дано:

$$f(t) = \cos^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t — 1$$

Шаг 1: Заменим $\operatorname{tg} t = \dfrac{\sin t}{\cos t}$, тогда:

$$\operatorname{tg}^2 t = \dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Подставим:

$$f(t) = \cos^2 t \cdot \dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5 \cos^2 t — 1$$

Сократим $\cos^2 t$ (если $\cos t \neq 0$):

$$f(t) = \sin^2 t + 5 \cos^2 t — 1$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t \Rightarrow f(t) = (1 — \cos^2 t) + 5 \cos^2 t — 1$$

Раскроем:

$$f(t) = 1 — \cos^2 t + 5 \cos^2 t — 1 = 4 \cos^2 t$$

Шаг 3: Найдём границы:

$$-1 \leq \cos t \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \cos^2 t \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 4 \cos^2 t \leq 4$$

Ответ:
Минимум: $0$, максимум: $4$
Ответ: $0; 4$

г)

Дано:

$$f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель из последних двух слагаемых:

$$f(t) = \sin t + 3 (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow f(t) = \sin t + 3 \cdot 1 = \sin t + 3$$

Шаг 3: Найдём границы:

$$-1 \leq \sin t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq \sin t + 3 \leq 4$$

Ответ:
Минимум: $2$, максимум: $4$
Ответ: $2; 4$