ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\cos^2 t — \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t — \operatorname{tg}^2 t} = \frac{\cos^2 t — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} =$$ $$= \frac{\cos^2 t \cdot \sin^2 t — \cos^2 t}{\sin^2 t} : \frac{\sin^2 t \cdot \cos^2 t — \sin^2 t}{\cos^2 t} =$$ $$= \frac{\cos^2 t \cdot (\sin^2 t — 1)}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t \cdot (\cos^2 t — 1)} = \frac{\cos^4 t \cdot (1 — \sin^2 t)}{\sin^4 t \cdot (1 — \cos^2 t)} =$$ $$= \frac{\cos^4 t \cdot \cos^2 t}{\sin^4 t \cdot \sin^2 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = \operatorname{ctg}^6 t;$$

Ответ: $\operatorname{ctg}^6 t$.

б)

$$\operatorname{ctg}^2 t — (\sin^{-2} t — 1) = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — \left( \frac{1}{\sin^2 t} — \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} \right) =$$ $$= \frac{\cos^2 t + \sin^2 t — 1}{\sin^2 t} = \frac{1 — 1}{\sin^2 t} = \frac{0}{\sin^2 t} = 0;$$

Ответ: $0$.

в)

$$\cos^2 t — \sin^2 t \cdot (\operatorname{ctg}^2 t + 1) = \cos^2 t — \sin^2 t \cdot \left( \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 \right) =$$ $$= \cos^2 t — \cos^2 t — \sin^2 t = -\sin^2 t;$$

Ответ: $-\sin^2 t$.

г)

$$\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{1 — \sin^2 t}{1 — \cos^2 t} + 1 = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 = \operatorname{ctg}^2 t + 1;$$

Ответ: $\operatorname{ctg}^2 t + 1$.

а)

Упростить выражение:

$$\frac{\cos^2 t — \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t — \operatorname{tg}^2 t}$$

Шаг 1: Замена тригонометрических функций

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} \Rightarrow \operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$ $$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} \Rightarrow \operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Подставим:

$$\frac{\cos^2 t — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Числитель:

$$\cos^2 t — \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t \cdot \sin^2 t — \cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Знаменатель:

$$\sin^2 t — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t \cdot \cos^2 t — \sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Шаг 3: Деление дробей

$$\frac{ \frac{\cos^2 t (\sin^2 t — 1)}{\sin^2 t} }{ \frac{\sin^2 t (\cos^2 t — 1)}{\cos^2 t} } = \frac{\cos^2 t (\sin^2 t — 1)}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t (\cos^2 t — 1)}$$

Шаг 4: Преобразуем скобки

$$\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t,\quad \cos^2 t — 1 = -\sin^2 t$$

Подставим:

$$= \frac{\cos^2 t \cdot (-\cos^2 t)}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t \cdot (-\sin^2 t)} = \frac{-\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{-\sin^4 t}$$

Минусы сокращаются:

$$= \frac{\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t}$$

Шаг 5: Ответ

$$\frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = \operatorname{ctg}^6 t$$

Ответ: $\operatorname{ctg}^6 t$

б)

Упростить выражение:

$$\operatorname{ctg}^2 t — (\sin^{-2} t — 1)$$

Шаг 1: Распишем все элементы

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t},\quad \sin^{-2} t = \frac{1}{\sin^2 t}$$

Подставим:

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — \left( \frac{1}{\sin^2 t} — 1 \right)$$

Шаг 2: Раскроем скобки

$$= \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} — \frac{1}{\sin^2 t} + 1$$

Шаг 3: Объединим дроби

$$= \frac{\cos^2 t — 1}{\sin^2 t} + 1$$

Шаг 4: Используем тождество

$$\cos^2 t + \sin^2 t = 1 \Rightarrow \cos^2 t = 1 — \sin^2 t \Rightarrow \cos^2 t — 1 = -\sin^2 t$$

Подставим:

$$= \frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} + 1 = -1 + 1 = 0$$

Ответ: $0$

в)

Упростить выражение:

$$\cos^2 t — \sin^2 t \cdot (\operatorname{ctg}^2 t + 1)$$

Шаг 1: Подставим $\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

$$= \cos^2 t — \sin^2 t \cdot \left( \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 1 \right)$$

Шаг 2: Раскроем скобки

$$= \cos^2 t — \left( \cos^2 t + \sin^2 t \right)$$

Шаг 3: Упростим

$$= \cos^2 t — \cos^2 t — \sin^2 t = -\sin^2 t$$

Ответ: $-\sin^2 t$

г)

Упростить выражение:

$$\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1} + \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 1: Преобразуем числитель и знаменатель

$$\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t,\quad \cos^2 t — 1 = -\sin^2 t$$

Значит:

$$\frac{\sin^2 t — 1}{\cos^2 t — 1} = \frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t$$

Шаг 2: Вычислим $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t},\quad \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} \Rightarrow \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$$

Шаг 3: Сложим

$$\operatorname{ctg}^2 t + 1$$

Ответ: $\operatorname{ctg}^2 t + 1$