ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

B прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, площадь и радиус описанной окружности, если:

а) с = 12, а = 60°;

б) с = 6, а = 45°;

в) с = 4, а = 30°;

г) с = 60, а = 60°.

В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha$, найти длины его катетов $a$ и $b$, его площадь $S$ и радиус $R$ описанной окружности;

Выведем формулы:

$$\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad => \quad a = c \cdot \sin \alpha;$$ $$\cos \alpha = \frac{b}{c} \quad => \quad b = c \cdot \cos \alpha;$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда является диаметром описанной около него окружности:

$$c = 2R \quad => \quad R = \frac{c}{2};$$

а) $c = 12$; $\alpha = 60^\circ$;

$$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3};$$ $$a = c \cdot \sin \alpha = 12 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3};$$ $$b = c \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6;$$ $$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3} \cdot 3 = 18\sqrt{3};$$ $$R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6;$$

б) $c = 6$; $\alpha = 45^\circ$;

$$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \frac{9\pi}{36} = \frac{\pi}{4};$$ $$a = c \cdot \sin \alpha = 6 \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2};$$ $$b = c \cdot \cos \alpha = 6 \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2};$$ $$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9;$$ $$R = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3;$$

в) $c = 4$; $\alpha = 30^\circ$;

$$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{3\pi}{18} = \frac{\pi}{6};$$ $$a = c \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \sin \frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2;$$ $$b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3};$$ $$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3};$$ $$R = \frac{c}{2} = \frac{4}{2} = 2;$$

г) $c = 60$; $\alpha = 60^\circ$;

$$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3};$$ $$a = c \cdot \sin \alpha = 60 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3};$$ $$b = c \cdot \cos \alpha = 60 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30;$$ $$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 30\sqrt{3} \cdot 15 = 450\sqrt{3};$$ $$R = \frac{c}{2} = \frac{60}{2} = 30;$$

В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha$. Нужно найти длины его катетов $a$ и $b$, его площадь $S$ и радиус $R$ описанной окружности.

Шаг 1: Формулы для катетов и радиуса описанной окружности

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной, а два других угла — острыми. Из тригонометрии мы знаем следующие отношения для катетов:

Синус угла $\alpha$ равен отношению длины катета $a$ к длине гипотенузы $c$:

$$\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad a = c \cdot \sin \alpha.$$

Косинус угла $\alpha$ равен отношению длины катета $b$ к длине гипотенузы $c$:

$$\cos \alpha = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cos \alpha.$$

Теперь перейдем к формуле для радиуса описанной окружности.

Шаг 2: Радиус описанной окружности

Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда является диаметром описанной вокруг него окружности. Следовательно, радиус $R$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы $c$:

$$c = 2R \quad \Rightarrow \quad R = \frac{c}{2}.$$

Шаг 3: Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле для площади треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.$$

Шаг 4: Подставляем данные

Теперь решим задачу для разных значений $c$ и $\alpha$.

а) $c = 12$, $\alpha = 60^\circ$

Переведем угол $\alpha$ из градусов в радианы:

$$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}.$$

Найдем катет $a$:

$$a = c \cdot \sin \alpha = 12 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.$$

Найдем катет $b$:

$$b = c \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6.$$

Вычислим площадь $S$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3} \cdot 3 = 18\sqrt{3}.$$

Найдем радиус $R$ описанной окружности:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

б) $c = 6$, $\alpha = 45^\circ$

Переведем угол $\alpha$ из градусов в радианы:

$$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{4}.$$

Найдем катет $a$:

$$a = c \cdot \sin \alpha = 6 \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.$$

Найдем катет $b$:

$$b = c \cdot \cos \alpha = 6 \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.$$

Вычислим площадь $S$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9.$$

Найдем радиус $R$ описанной окружности:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

в) $c = 4$, $\alpha = 30^\circ$

Переведем угол $\alpha$ из градусов в радианы:

$$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}.$$

Найдем катет $a$:

$$a = c \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \sin \frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

Найдем катет $b$:

$$b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.$$

Вычислим площадь $S$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.$$

Найдем радиус $R$ описанной окружности:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

г) $c = 60$, $\alpha = 60^\circ$

Переведем угол $\alpha$ из градусов в радианы:

$$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}.$$

Найдем катет $a$:

$$a = c \cdot \sin \alpha = 60 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}.$$

Найдем катет $b$:

$$b = c \cdot \cos \alpha = 60 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30.$$

Вычислим площадь $S$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 30\sqrt{3} \cdot 15 = 450\sqrt{3}.$$

Найдем радиус $R$ описанной окружности:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{60}{2} = 30.$$

Ответы:

• а) $c = 12$, $\alpha = 60^\circ$:
  • Катеты: $a = 6\sqrt{3}$, $b = 6$
  • Площадь: $S = 18\sqrt{3}$
  • Радиус описанной окружности: $R = 6$
• б) $c = 6$, $\alpha = 45^\circ$:
  • Катеты: $a = 3\sqrt{2}$, $b = 3\sqrt{2}$
  • Площадь: $S = 9$
  • Радиус описанной окружности: $R = 3$
• в) $c = 4$, $\alpha = 30^\circ$:
  • Катеты: $a = 2$, $b = 2\sqrt{3}$
  • Площадь: $S = 2\sqrt{3}$
  • Радиус описанной окружности: $R = 2$
• г) $c = 60$, $\alpha = 60^\circ$:
  • Катеты: $a = 30\sqrt{3}$, $b = 30$
  • Площадь: $S = 450\sqrt{3}$
  • Радиус описанной окружности: $R = 30$