ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

B треугольнике ABC известно, что AB = 4 корня из 2 см, угол A = 45°, угол C = 30°. Найдите ВС, AC и площадь треугольника ABC.

В ΔABC известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.
Найти $BC$, $AC$ и площадь $\Delta ABC$.

Решение:

Отобразим условие задачи:

Радианные меры углов:

$$\angle A = 45^\circ = \frac{\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \frac{9\pi}{36} = \frac{\pi}{4};$$ $$\angle C = 30^\circ = \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{3\pi}{18} = \frac{\pi}{6};$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C};$$ $$BC = \frac{\sin \angle A}{\sin \angle C} \cdot AB = \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{6}} \cdot 4\sqrt{2} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{1} \right) \cdot 4\sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см};$$

Рассмотрим прямоугольный ΔCBH:

$$\sin \angle C = \frac{BH}{BC} \quad \Rightarrow \quad BH = BC \cdot \sin \angle C = 8 \cdot \sin \frac{\pi}{6} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см};$$ $$\cos \angle C = \frac{CH}{BC} \quad \Rightarrow \quad CH = BC \cdot \cos \angle C = 8 \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см};$$

Рассмотрим прямоугольный ΔABH:

$$\cos \angle A = \frac{AH}{AB};$$ $$AH = AB \cdot \cos \angle A = 4\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см};$$

Длина стороны AC:

$$AC = AH + HC = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3}) \text{ см};$$

Площадь треугольника ABC:

$$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 4(1 + \sqrt{3}) \cdot 4 = 8(1 + \sqrt{3}) \text{ см}^2;$$

Ответ:

$$\boxed{BC = 8 \text{ см}; \ AC = 4(1 + \sqrt{3}) \text{ см}; \ S_{\Delta ABC} = 8(1 + \sqrt{3}) \text{ см}^2.}$$

В ΔABC известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.
Найти $BC$, $AC$ и площадь $\Delta ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где даны:

• $AB = 4\sqrt{2}$ см — длина одной из сторон,
• $\angle A = 45^\circ$ — угол при вершине $A$,
• $\angle C = 30^\circ$ — угол при вершине $C$.

Задача требует найти длины сторон $BC$ и $AC$, а также площадь треугольника.

$$\text{Нужно найти:} \quad BC, \quad AC, \quad S_{\Delta ABC}.$$

Преобразуем углы в радианы:

Мы знаем, что углы часто удобнее выражать в радианах, особенно при применении тригонометрических формул. Переход от градусов к радианам осуществляется по формуле:

$$\text{Радианная мера угла} = \frac{\pi}{180^\circ} \times \text{Градусная мера угла}.$$

Рассчитаем углы в радианах:

• Угол $\angle A = 45^\circ$:

  $$\angle A = 45^\circ = \frac{\pi \cdot 45^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ радиан}.$$

• Угол $\angle C = 30^\circ$:

  $$\angle C = 30^\circ = \frac{\pi \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ радиан}.$$

Используем теорему синусов для нахождения $BC$:

Согласно теореме синусов, для произвольного треугольника выполняется равенство:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma},$$

где $a$, $b$, и $c$ — длины сторон треугольника, а $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$ — углы напротив этих сторон.

В нашем случае мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны $BC$. У нас известны углы $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$, а также сторона $AB = 4\sqrt{2}$.

Применим теорему синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}.$$

Знаем, что:

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$$

Подставим эти значения:

$$\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}.$$

Упростим правую часть уравнения:

$$\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \times 2 = 8\sqrt{2}.$$

Теперь выразим $BC$:

$$BC = 8\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \text{ см}.$$

Таким образом, длина стороны $BC$ равна 8 см.

Нахождение высоты $BH$ и основания $CH$ в прямоугольном треугольнике $CBH$:

Теперь, когда мы знаем длину стороны $BC = 8 \, \text{см}$, можно использовать прямоугольный треугольник $CBH$, в котором угол $C = 30^\circ$. Рассмотрим высоту $BH$ и основание $CH$.

Для нахождения высоты $BH$, используя определение синуса, получаем:

$$\sin \angle C = \frac{BH}{BC} \quad \Rightarrow \quad BH = BC \cdot \sin \angle C = 8 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \, \text{см}.$$

Для нахождения основания $CH$, используя определение косинуса, получаем:

$$\cos \angle C = \frac{CH}{BC} \quad \Rightarrow \quad CH = BC \cdot \cos \angle C = 8 \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}.$$

Рассчитаем длину стороны $AC$:

Теперь можем найти длину стороны $AC$ как сумму двух частей: $AH$ и $HC$. Для нахождения $AH$ используем прямоугольный треугольник $ABH$, в котором угол $A = 45^\circ$.

Для нахождения $AH$ используем определение косинуса:

$$\cos \angle A = \frac{AH}{AB} \quad \Rightarrow \quad AH = AB \cdot \cos \angle A = 4\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{см}.$$

Таким образом, $AH = 4 \, \text{см}$.

Теперь, чтобы найти $AC$, нужно сложить $AH$ и $HC$:

$$AC = AH + HC = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3}) \, \text{см}.$$

Нахождение площади треугольника $ABC$:

Для нахождения площади треугольника $ABC$ можно использовать формулу для площади через основание и высоту:

$$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH.$$

Подставляем найденные значения:

$$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4(1 + \sqrt{3}) \cdot 4 = 8(1 + \sqrt{3}) \, \text{см}^2.$$

Ответ:

$$\boxed{BC = 8 \text{ см}; \ AC = 4(1 + \sqrt{3}) \text{ см}; \ S_{\Delta ABC} = 8(1 + \sqrt{3}) \text{ см}^2.}$$