ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) sin²733° + cos²347°;

б) 2cos²395° + sin²1000° + 2sin²755° + cos²800°.

а) ${\sin }^2{733}^{\circ }+{\cos }^2{347}^{\circ }={\sin }^2({720}^{\circ }+{13}^{\circ })+{\cos }^2({360}^{\circ }-{13}^{\circ })=$
$={\sin }^2(2\cdot {350}^{\circ }+{13}^{\circ })+{\cos }^2(-{13}^{\circ })={\sin }^2{13}^{\circ }+{\cos }^2{13}^{\circ }=1$;
Ответ: 1.

б) $2{\cos }^2{395}^{\circ }+{\sin }^2{1000}^{\circ }+2{\sin }^2{755}^{\circ }+{\cos }^2{800}^{\circ }=$
$=2{\cos }^2{35}^{\circ }+(-\sin {80}^{\circ }{)}^2+2{\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ }=$
$=2({\cos }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{35}^{\circ })+({\sin }^2{80}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ })=2+1=3$;
$\cos {395}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }+{35}^{\circ })=\cos {35}^{\circ }$;
$\sin {1000}^{\circ }=\sin ({1080}^{\circ }-{80}^{\circ })=\sin (3\cdot {360}^{\circ }-{80}^{\circ })=-\sin ({80}^{\circ })$;
$\sin {755}^{\circ }=\sin ({720}^{\circ }+{35}^{\circ })=\sin (2\cdot {360}^{\circ }+{35}^{\circ })=\sin {35}^{\circ }$;
$\cos {800}^{\circ }=\cos ({720}^{\circ }+{80}^{\circ })=\cos (2\cdot {360}^{\circ }+{80}^{\circ })=\cos {80}^{\circ }$;
Ответ: 3.

а) ${\sin }^2{733}^{\circ }+{\cos }^2{347}^{\circ }=?$

Для начала рассмотрим выражение:

$${\sin }^2{733}^{\circ }+{\cos }^2{347}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 1: Приведем углы к основным интервалам

Для начала приведем углы ${733}^{\circ }$ и ${347}^{\circ }$ к основным интервалам (от $0^{\circ }$ до ${360}^{\circ }$).

${733}^{\circ }$ — это угол больше ${360}^{\circ }$, поэтому можно вычесть целое количество полных кругов:

$${733}^{\circ }-{360}^{\circ }={373}^{\circ },$$$${373}^{\circ }-{360}^{\circ }={13}^{\circ }\mathrm{.}$$

Таким образом, $\sin {733}^{\circ }=\sin {13}^{\circ }$.

${347}^{\circ }$ — угол меньше ${360}^{\circ }$, поэтому его не нужно изменять:

$$\cos {347}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{13}^{\circ })=\cos {13}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем полученные значения

Теперь подставим полученные значения:

$${\sin }^2{733}^{\circ }+{\cos }^2{347}^{\circ }={\sin }^2{13}^{\circ }+{\cos }^2{13}^{\circ }\mathrm{.}$$

По основной тригонометрической тождеству для синуса и косинуса:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1.$$

Следовательно:

$${\sin }^2{13}^{\circ }+{\cos }^2{13}^{\circ }=1.$$

Ответ для части а):

$$1.$$

б) $2{\cos }^2{395}^{\circ }+{\sin }^2{1000}^{\circ }+2{\sin }^2{755}^{\circ }+{\cos }^2{800}^{\circ }=?$

Теперь рассмотрим более сложное выражение:

$$2{\cos }^2{395}^{\circ }+{\sin }^2{1000}^{\circ }+2{\sin }^2{755}^{\circ }+{\cos }^2{800}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 1: Приводим углы к основным интервалам

${395}^{\circ }$ — это угол больше ${360}^{\circ }$, поэтому мы вычитаем ${360}^{\circ }$:

$${395}^{\circ }-{360}^{\circ }={35}^{\circ }\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\cos {395}^{\circ }=\cos {35}^{\circ }\mathrm{.}$$

${1000}^{\circ }$ — это угол, который превышает ${360}^{\circ }$. Вычитаем $2\cdot {360}^{\circ }={720}^{\circ }$, чтобы привести угол к более простому виду:

$${1000}^{\circ }-{720}^{\circ }={280}^{\circ }\mathrm{.}$$

Но ${280}^{\circ }$ лежит в четвертой четверти, и мы знаем, что $\sin ({360}^{\circ }-\theta )=-\sin (\theta )$. Следовательно:

$$\sin {1000}^{\circ }=\sin {280}^{\circ }=-\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

${755}^{\circ }$ — это угол больше ${360}^{\circ }$, поэтому вычитаем $2\cdot {360}^{\circ }={720}^{\circ }$:

$${755}^{\circ }-{720}^{\circ }={35}^{\circ }\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sin {755}^{\circ }=\sin {35}^{\circ }\mathrm{.}$$

${800}^{\circ }$ — это угол больше ${360}^{\circ }$, поэтому вычитаем $2\cdot {360}^{\circ }={720}^{\circ }$:

$${800}^{\circ }-{720}^{\circ }={80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\cos {800}^{\circ }=\cos {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем значения в исходное выражение

Теперь подставим найденные значения для синусов и косинусов:

$$2{\cos }^2{395}^{\circ }+{\sin }^2{1000}^{\circ }+2{\sin }^2{755}^{\circ }+{\cos }^2{800}^{\circ }=$$

$$=2{\cos }^2{35}^{\circ }+(-\sin {80}^{\circ }{)}^2+2{\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Используя тот факт, что $(-\sin \theta {)}^2={\sin }^2\theta$, получаем:

$$2{\cos }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{80}^{\circ }+2{\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 3: Применяем тождества для синуса и косинуса

Теперь используем основной тождество для синуса и косинуса:

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1.$$

Для выражения $2{\cos }^2{35}^{\circ }+2{\sin }^2{35}^{\circ }$ мы можем воспользоваться тождеством:

$$2({\cos }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{35}^{\circ })=2\cdot 1=2.$$

Также для выражений ${\sin }^2{80}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ }$ имеем:

$${\sin }^2{80}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ }=1.$$

Шаг 4: Подставляем и упрощаем

Теперь подставляем эти значения:

$$2{\cos }^2{35}^{\circ }+{\sin }^2{80}^{\circ }+2{\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{80}^{\circ }=2+1=3.$$

Ответ для части б):

$$3.$$

Итоговые ответы:

а) $1$

б) $3$