ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) tg1° tg2° tg3° · … · tg89°;

б) ctg2° ctg4° ctg6° · … · ctg178°.

Согласно геометрическому определению синуса и косинуса:

$$\sin(90^\circ — a) = \cos a;$$ $$\cos(90^\circ — a) = \sin a;$$ $$0 < a < \frac{\pi}{2};$$

а) $S = \operatorname{tg} 1^\circ \cdot \operatorname{tg} 2^\circ \cdot \operatorname{tg} 3^\circ \cdot \ldots \cdot \operatorname{tg} 89^\circ = \frac{\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 89^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ};$

$$S = \frac{\sin(90^\circ — 89^\circ) \cdot \sin(90^\circ — 88^\circ) \cdot \sin(90^\circ — 87^\circ) \cdot \ldots \cdot \sin(90^\circ — 1^\circ)}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ};$$ $$S = \frac{\cos 89^\circ \cdot \cos 88^\circ \cdot \cos 87^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 1^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ} = 1;$$

Ответ: 1.

б) $S = \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 6^\circ \cdot \ldots \cdot \operatorname{ctg} 178^\circ;$

$$S = \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 6^\circ \cdot \ldots \cdot \operatorname{ctg} 90^\circ \cdot \ldots \cdot \operatorname{ctg} 178^\circ;$$ $$S = \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 6^\circ \cdot \ldots \cdot 0 \cdot \ldots \cdot \operatorname{ctg} 178^\circ = 0;$$ $$\operatorname{ctg} 90^\circ = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0;$$

Ответ: 0.

Согласно геометрическому определению синуса и косинуса:

• $\sin(90^\circ — a) = \cos a$
• $\cos(90^\circ — a) = \sin a$
• $0 < a < \frac{\pi}{2}$

Теперь давайте рассмотрим две части задачи.

Часть а)

Нам нужно найти значение:

$$S = \operatorname{tg} 1^\circ \cdot \operatorname{tg} 2^\circ \cdot \operatorname{tg} 3^\circ \cdot \ldots \cdot \operatorname{tg} 89^\circ.$$

Шаг 1: Преобразуем тангенсы через синусы и косинусы

Используем определение тангенса:

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$$

Подставим это в выражение для $S$:

$$S = \frac{\sin 1^\circ}{\cos 1^\circ} \cdot \frac{\sin 2^\circ}{\cos 2^\circ} \cdot \frac{\sin 3^\circ}{\cos 3^\circ} \cdot \ldots \cdot \frac{\sin 89^\circ}{\cos 89^\circ}.$$

Теперь выразим это в виде дроби:

$$S = \frac{\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 89^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ}.$$

Шаг 2: Используем тождество для синуса и косинуса

Мы знаем следующее тождество:

$$\sin(90^\circ — a) = \cos a.$$

Таким образом, можем преобразовать числитель:

$$\sin(90^\circ — 89^\circ) = \cos 89^\circ, \quad \sin(90^\circ — 88^\circ) = \cos 88^\circ, \quad \ldots, \quad \sin(90^\circ — 1^\circ) = \cos 1^\circ.$$

Подставим это в числитель дроби:

$$S = \frac{\cos 89^\circ \cdot \cos 88^\circ \cdot \cos 87^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 1^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ}.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь можно увидеть, что в числителе и знаменателе есть одинаковые множители:

$$S = \frac{\cos 89^\circ \cdot \cos 88^\circ \cdot \cos 87^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 1^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \cos 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 89^\circ} = 1.$$

Ответ для части а):

$$S = 1.$$

Часть б)

Нам нужно найти значение:

$$S = \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 6^\circ \cdot \ldots \cdot \operatorname{ctg} 178^\circ.$$

Шаг 1: Преобразуем котангенсы через синусы и косинусы

Используем определение котангенса:

$$\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}.$$

Подставим это в выражение для $S$:

$$S = \frac{\cos 2^\circ}{\sin 2^\circ} \cdot \frac{\cos 4^\circ}{\sin 4^\circ} \cdot \frac{\cos 6^\circ}{\sin 6^\circ} \cdot \ldots \cdot \frac{\cos 178^\circ}{\sin 178^\circ}.$$

Теперь выразим это в виде дроби:

$$S = \frac{\cos 2^\circ \cdot \cos 4^\circ \cdot \cos 6^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 178^\circ}{\sin 2^\circ \cdot \sin 4^\circ \cdot \sin 6^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 178^\circ}.$$

Шаг 2: Используем свойства котангенса для $90^\circ$

Отметим, что:

$$\operatorname{ctg} 90^\circ = 0.$$

Здесь в произведении присутствует $\operatorname{ctg} 90^\circ$, поскольку угол $90^\circ$ входит в наш ряд. Таким образом, значение произведения становится равным нулю.

Шаг 3: Упрощение выражения

Поскольку $\operatorname{ctg} 90^\circ = 0$, весь продукт становится равным нулю:

$$S = 0.$$

Ответ для части б):

$$S = 0.$$

Итоговые ответы:

а) $S = 1$

б) $S = 0$