ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) sin²1° + sin²2° + sin²3° + … + sin²90°;

б) cos²1° + cos²2° + cos²3° + … + cos²180°.

Согласно геометрическому определению синуса и косинуса:

$$\sin(90^\circ — a) = \cos a;$$ $$\cos(90^\circ — a) = \sin a;$$ $$0 < a < \frac{\pi}{2};$$

а)

$$S = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \cdots + \sin^2 90^\circ;$$ $$S = (\sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ) + \cdots + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ;$$ $$S = (\sin^2 1^\circ + \sin^2 (90^\circ — 1^\circ)) + (\sin^2 2^\circ + \sin^2 (90^\circ — 2^\circ)) + \cdots + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1^2;$$ $$S = (\sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \cos^2 2^\circ) + \cdots + \frac{2}{4} + 1;$$ $$S = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 0,5}_{44 \text{ числа}} + 1 = 44 + 1,5 = 45,5;$$

Ответ: 45,5.

б)

$$S = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 180^\circ;$$ $$S = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 179^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \cos^2 178^\circ) + \cdots + \cos^2 90^\circ + \cos^2 180^\circ;$$ $$S = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \cos^2 2^\circ) + \cdots + 0^2 + (-1)^2;$$ $$S = 2(\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ) + 1;$$ $$S = 2\left((\cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \sin^2 2^\circ) + \cdots + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right) + 1;$$ $$S = 2\left(\underbrace{1 + 1 + \cdots + \frac{2}{4}}_{44 \text{ числа}}\right) + 1 = 2(44 + 0,5) + 1 = 2 \cdot 44,5 + 1 = 89 + 1 = 90;$$ $$\cos(180^\circ — a) = \cos(\pi — a) = -\cos(-a) = -\cos a;$$

Ответ: 90.

Согласно геометрическому определению синуса и косинуса:

• $\sin(90^\circ — a) = \cos a$
• $\cos(90^\circ — a) = \sin a$
• $0 < a < \frac{\pi}{2}$

Теперь давайте детально разберем обе части задачи.

Часть а)

Нам нужно найти сумму:

$$S = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \cdots + \sin^2 90^\circ.$$

Шаг 1: Разбиваем сумму на пары

Обратим внимание, что для каждого угла $\theta$, $\sin^2 \theta$ можно преобразовать в выражение через $\cos$, используя геометрическое определение. Мы можем воспользоваться свойством:

$$\sin(90^\circ — a) = \cos a.$$

Таким образом, можно сгруппировать члены в парные суммы:

$$S = (\sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ) + \cdots + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ.$$

Шаг 2: Преобразуем синусы

Теперь каждый член из пары $\sin^2 a^\circ + \sin^2 (90^\circ — a^\circ)$ можно записать как:

$$\sin^2 a^\circ + \cos^2 a^\circ = 1.$$

Это — основное тригонометрическое тождество.

Подставим это в нашу сумму:

$$S = (\sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \cos^2 2^\circ) + \cdots + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ.$$

Шаг 3: Вычисляем отдельно последний элемент

Теперь обратим внимание, что $\sin 90^\circ = 1$, то есть $\sin^2 90^\circ = 1$.

Следовательно, выражение для $S$ примет вид:

$$S = 1 + 1 + \cdots + \frac{2}{4} + 1.$$

Шаг 4: Считаем число единиц и половинок

В нашей сумме есть 44 единицы (по одной на каждую пару $\sin^2 a^\circ + \cos^2 a^\circ$) и одна половинка на $\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4}$. Также есть дополнительная единица от $\sin^2 90^\circ$.

Итак, общая сумма:

$$S = 44 + 0.5 + 1 = 45.5.$$

Ответ для части а):

$$S = 45.5.$$

Часть б)

Нам нужно найти сумму:

$$S = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 180^\circ.$$

Шаг 1: Разбиваем сумму на пары

Как и в первой части, разобьем сумму на пары:

$$S = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 179^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \cos^2 178^\circ) + \cdots + \cos^2 90^\circ + \cos^2 180^\circ.$$

Шаг 2: Преобразуем пары

Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos(180^\circ — a) = -\cos a.$$

Следовательно:

$$\cos^2 179^\circ = \cos^2 1^\circ, \quad \cos^2 178^\circ = \cos^2 2^\circ, \quad \dots, \quad \cos^2 90^\circ = 0^2.$$

Таким образом:

$$S = 2(\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ) + \cos^2 180^\circ.$$

Итак, нам осталось учесть $\cos^2 180^\circ = (-1)^2 = 1$.

Шаг 3: Преобразуем выражение в сумму с синусами

Теперь каждая пара $\cos^2 a^\circ + \cos^2 (90^\circ — a^\circ)$ превращается в:

$$\cos^2 a^\circ + \sin^2 a^\circ = 1.$$

Подставим это в сумму:

$$S = 2\left((\cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \sin^2 2^\circ) + \cdots + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right) + 1.$$

Шаг 4: Подсчитываем числа

В этой сумме есть 44 единицы (по одной на каждую пару $\cos^2 a^\circ + \sin^2 a^\circ$), и $\frac{2}{4}$ на $\cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$.

Таким образом:

$$S = 2(44 + 0.5) + 1 = 2 \cdot 44.5 + 1 = 89 + 1 = 90.$$

Ответ для части б):

$$S = 90.$$

Итоговые ответы:

а) $S = 45.5$

б) $S = 90$