ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано выражение sin1° sin2° sin3° · … · sin n°.

а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Дано выражение:

$$S_n = \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin n^\circ;$$

Если $n \leq 179$, тогда точка $n$ находится в I или II четверти:

$$180^\circ = \frac{\pi \cdot 180^\circ}{180} = \pi;$$ $$0 < n < \pi;$$ $$\sin n^\circ > 0;$$ $$S_n > 0;$$

Если $n \geq 180$, тогда произведение всех синусов равно нулю:

$$\sin n^\circ = \sin 180^\circ = \sin \pi = 0;$$ $$S_n = 0;$$

Ответ: а) при $n \leq 179$; б) ни при каких $n$; в) при $n \geq 180$.

Дано выражение:

$$S_n = \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin n^\circ;$$

Нам нужно рассмотреть два случая: когда $n \leq 179$ и когда $n \geq 180$, и доказать, что в этих случаях произведение всех синусов либо положительно, либо равно нулю.

1. Если $n \leq 179$:

Шаг 1: Понимание углов

Сначала рассмотрим углы от $1^\circ$ до $179^\circ$. Все эти углы находятся в первой или второй четверти на круге, где синус всегда положителен. Напомню, что на единичной окружности:

• В первой четверти ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) синус угла всегда положителен.
• Во второй четверти ($90^\circ < \theta < 180^\circ$) синус тоже всегда положителен.

Таким образом, для всех значений $n$ от $1^\circ$ до $179^\circ$, каждый синус является положительным числом.

Шаг 2: Преобразуем выражение

Когда $n \leq 179$, все синусы в произведении положительные, так как углы находятся в первой или второй четверти:

$$S_n = \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin n^\circ.$$

Так как все множители положительные, то произведение тоже будет положительным:

$$S_n > 0.$$

Шаг 3: Вывод

Итак, когда $n \leq 179$, произведение всех синусов остается положительным, и:

$$S_n > 0.$$

2. Если $n \geq 180$:

Шаг 1: Понимание углов при $n \geq 180$

Теперь рассмотрим случай, когда $n \geq 180$. В этом случае в произведении синусов будет присутствовать $\sin 180^\circ$, $\sin 181^\circ$, и так далее. Рассмотрим, что происходит с синусом угла $180^\circ$:

$$\sin 180^\circ = 0.$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

Как только в произведении появляется множитель $\sin 180^\circ = 0$, то весь множитель становится равным нулю:

$$S_n = \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 180^\circ \cdot \sin 181^\circ \cdot \ldots \cdot \sin n^\circ.$$

Поскольку $\sin 180^\circ = 0$, то произведение всех синусов будет равно нулю:

$$S_n = 0.$$

Шаг 3: Вывод

Когда $n \geq 180$, хотя бы один из множителей в произведении равен нулю, а значит, всё произведение будет равно нулю:

$$S_n = 0.$$

Ответ:

а) при $n \leq 179$: $S_n > 0$

б) ни при каких $n$: $S_n$ не может быть отрицательным, так как все синусы положительные или равны нулю.

в) при $n \geq 180$: $S_n = 0$