ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано выражение sin1° + sin2° + sin3° + … + sinn°.

а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Дано выражение:

$$S_n = \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \sin 3^\circ + \cdots + \sin n^\circ;$$

Выведем тождество:

$$180^\circ = \frac{\pi \cdot 180^\circ}{180^\circ} = \pi;$$ $$\sin(180^\circ + a) = \sin(\pi + a) = \sin(2\pi — (\pi — a)) = -\sin(\pi — a);$$ $$\sin(180^\circ + a) = \sin(-a) = -\sin a;$$

Таким образом:

$$\sin 181^\circ = -\sin 1^\circ, \quad \sin 182^\circ = -\sin 2^\circ \text{ и так далее};$$

Отметим также, что:

$$\sin 180^\circ = \sin \pi = 0;$$ $$\sin 360^\circ = \sin(180^\circ + 180^\circ) = 0;$$

Значит, при $n = 360k$ или $n = 360k — 1$, каждому положительному числу $\sin n^\circ$ будет соответствовать противоположное число, поэтому сумма будет равна нулю;

При всех остальных значениях положительных чисел будет больше, чем отрицательных, поэтому сумма будет положительной;

Ответ: а) при всех $n$, кроме $n = 360k$ и $n = 360k — 1$; б) ни при каких $n$; в) при $n = 360k$ и $n = 360k — 1$.

Дано выражение:

$$S_n = \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \sin 3^\circ + \cdots + \sin n^\circ;$$

Нам нужно рассмотреть, при каких значениях $n$ сумма всех синусов будет равна нулю, положительна или отрицательна.

1. Вывод тождества для синуса угла $180^\circ + a$

Для начала, рассмотрим, как синус угла $180^\circ + a$ связан с синусом угла $a$. Это важно, так как мы будем использовать это свойство для анализа суммы синусов:

• $\sin(180^\circ + a) = \sin(\pi + a)$. Мы знаем, что $\sin(\pi + a) = -\sin a$, так как синус функции $\sin$ имеет период $2\pi$, а при прибавлении $\pi$ знак синуса меняется.

  Следовательно:

  $$\sin(180^\circ + a) = -\sin a.$$

Теперь, в нашем выражении $S_n$ для всех $n \geq 180^\circ$ мы можем применить это тождество.

2. Применение тождества для $\sin 181^\circ, \sin 182^\circ, \dots$

Используя только что выведенное тождество, можем записать:

$$\sin 181^\circ = -\sin 1^\circ, \quad \sin 182^\circ = -\sin 2^\circ, \quad \sin 183^\circ = -\sin 3^\circ, \quad \dots$$

Таким образом, для каждого $n > 180^\circ$ будет соответствовать противоположный синус, то есть $\sin(180^\circ + n^\circ) = -\sin n^\circ$.

3. Особые случаи: $\sin 180^\circ$ и $\sin 360^\circ$

Теперь рассмотрим синусы $180^\circ$ и $360^\circ$, так как они будут участвовать в наших суммах при определенных значениях $n$.

• $\sin 180^\circ = \sin \pi = 0$, это стандартное значение.
• $\sin 360^\circ = \sin(180^\circ + 180^\circ) = 0$, также известное значение, так как $\sin 360^\circ = 0$ по определению.

Таким образом, $\sin 180^\circ = 0$ и $\sin 360^\circ = 0$.

4. Когда $n = 360k$ или $n = 360k — 1$

Теперь рассмотрим особые случаи, когда $n = 360k$ или $n = 360k — 1$, где $k$ — целое число.

• Когда $n = 360k$, то $\sin 360^\circ = 0$, и все предыдущие синусы будут иметь противоположные значения, то есть каждому положительному значению $\sin n^\circ$ будет соответствовать отрицательное значение. Таким образом, все положительные и отрицательные синусы будут в точности компенсировать друг друга, и сумма будет равна нулю.
• Когда $n = 360k — 1$, аналогично, мы имеем, что $\sin n^\circ$ и $\sin (360 — n)^\circ$ будут противоположными, и произведение всех синусов снова будет равно нулю.

Таким образом, для $n = 360k$ или $n = 360k — 1$, каждый положительный синус будет иметь противоположный отрицательный синус, и сумма всех синусов будет равна нулю:

$$S_n = 0.$$

5. Когда $n \neq 360k$ и $n \neq 360k — 1$

Теперь рассмотрим все остальные значения $n$, когда $n \neq 360k$ и $n \neq 360k — 1$. В этих случаях:

• Положительных значений синусов будет больше, чем отрицательных, так как для всех $n$ в пределах одного цикла $0^\circ \leq n \leq 180^\circ$ синусы положительны, а для $n$ в диапазоне $180^\circ \leq n \leq 360^\circ$ синусы будут отрицательными. Таким образом, положительные значения преобладают.
• Следовательно, сумма всех синусов будет положительной:

$$S_n > 0.$$

Итоговые ответы:

а) при всех $n$, кроме $n = 360k$ и $n = 360k — 1$: $S_n > 0$

б) ни при каких $n$: сумма не может быть отрицательной, так как синусы либо положительные, либо равны нулю.

в) при $n = 360k$ и $n = 360k — 1$: $S_n = 0$