ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано выражение cos1° + cos2° + cos3° + … + cosn°.

а) При каких натуральных значениях n < 360 это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях n < 360 это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Дано выражение:

$$S_n = \cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \cdots + \cos n^\circ;$$

Выведем тождества:

$$180^\circ = \frac{\pi \cdot 180^\circ}{180^\circ} = \pi;$$ $$\cos(180^\circ — a) = \cos(\pi — a) = -\cos(-a) = -\cos a;$$ $$\cos(360^\circ — a) = \cos(-a) = \cos a;$$

Таким образом:

$$\cos 91^\circ = -\cos 89^\circ, \quad \cos 92^\circ = -\cos 88^\circ \text{ и так далее};$$ $$\cos 181^\circ = \cos 179^\circ = -\cos 1^\circ, \quad \cos 182^\circ = -\cos 2^\circ \text{ и так далее};$$ $$\cos 271^\circ = \cos 89^\circ, \quad \cos 272^\circ = \cos 88^\circ \text{ и так далее};$$

Отметим также, что:

$$90^\circ = \frac{\pi \cdot 90^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi}{2};$$ $$\cos 90^\circ = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$ $$\cos 270^\circ = \cos(360^\circ — 90^\circ) = \cos(-90^\circ) = \cos 90^\circ = 0;$$ $$\cos 180^\circ = \cos \pi = -1;$$ $$\cos 360^\circ = \cos 0 = 1;$$

Значит, при $n = 360k$ или $n = 360k — 181$, каждому положительному числу $\cos n^\circ$ будет соответствовать противоположное число, поэтому сумма будет равна нулю;

При $1 \leq n \leq 178$ положительных чисел будет больше, чем отрицательных, поэтому сумма будет положительной;

При $180 \leq n \leq 359$ отрицательных чисел будет больше, чем положительных, поэтому сумма будет отрицательной;

Ответ: а) при $n \leq 178$; б) при $180 \leq n \leq 359$;
в) при $n = 360k$ и $n = 360k — 181$.

Дано выражение:

$$S_n = \cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \cdots + \cos n^\circ;$$

Нам нужно рассмотреть, при каких значениях $n$ сумма всех косинусов будет положительной, отрицательной или равной нулю.

1. Вывод тождества для косинусов $\cos(180^\circ — a)$ и $\cos(360^\circ — a)$

Тождество для $\cos(180^\circ — a)$:

Из геометрического определения косинуса, для углов на единичной окружности, можно вывести следующее тождество:

$$\cos(180^\circ — a) = \cos(\pi — a) = -\cos(-a) = -\cos a.$$

Это тождество показывает, что косинус угла $180^\circ — a$ имеет противоположный знак относительно косинуса угла $a$.

Тождество для $\cos(360^\circ — a)$:

Для углов вида $360^\circ — a$, мы имеем:

$$\cos(360^\circ — a) = \cos(-a) = \cos a.$$

Это тождество показывает, что косинус угла $360^\circ — a$ равен косинусу угла $a$, потому что косинус является четной функцией.

2. Применение тождеств к выражению $S_n$

Теперь рассмотрим, как эти тождества влияют на выражение для $S_n$.

Для углов от $91^\circ$ до $179^\circ$:

Используя тождество для $\cos(180^\circ — a) = -\cos a$, получаем:

$$\cos 91^\circ = -\cos 89^\circ, \quad \cos 92^\circ = -\cos 88^\circ, \quad \dots, \quad \cos 179^\circ = -\cos 1^\circ.$$

Таким образом, для каждого угла в диапазоне от $91^\circ$ до $179^\circ$, косинус будет отрицательным и иметь противоположный знак по отношению к косинусам углов от $1^\circ$ до $89^\circ$.

Для углов от $181^\circ$ до $269^\circ$:

Используя тождество $\cos(360^\circ — a) = \cos a$, получаем:

$$\cos 181^\circ = -\cos 1^\circ, \quad \cos 182^\circ = -\cos 2^\circ, \quad \dots, \quad \cos 269^\circ = -\cos 89^\circ.$$

Здесь косинусы углов от $181^\circ$ до $269^\circ$ будут отрицательными и противоположными косинусам углов от $1^\circ$ до $89^\circ$.

Для углов от $271^\circ$ до $359^\circ$:

Снова используя $\cos(360^\circ — a) = \cos a$, получаем:

$$\cos 271^\circ = \cos 89^\circ, \quad \cos 272^\circ = \cos 88^\circ, \quad \dots, \quad \cos 359^\circ = \cos 1^\circ.$$

Таким образом, для углов от $271^\circ$ до $359^\circ$ косинусы будут равны косинусам углов от $1^\circ$ до $89^\circ$, но при этом все косинусы будут положительными.

3. Особые углы:

• $\cos 90^\circ = 0$ — это точка на единичной окружности, где косинус равен нулю.
• $\cos 270^\circ = 0$ — тоже точка на единичной окружности, где косинус равен нулю.
• $\cos 180^\circ = -1$ — это точка на единичной окружности, где косинус равен минус единице.
• $\cos 360^\circ = 1$ — это точка на единичной окружности, где косинус равен единице.

4. Анализ суммы $S_n$

Теперь рассмотрим, при каких значениях $n$ сумма всех косинусов будет равна нулю, положительна или отрицательна.

Когда $n = 360k$ или $n = 360k — 181$:

• При $n = 360k$ или $n = 360k — 181$, каждому положительному числу $\cos n^\circ$ будет соответствовать противоположное число $\cos(360^\circ — n^\circ)$, которое будет отрицательным.
• Таким образом, все положительные и отрицательные косинусы будут компенсировать друг друга, и сумма будет равна нулю.

Когда $1 \leq n \leq 178$:

• При $1 \leq n \leq 178$ положительных чисел будет больше, чем отрицательных, потому что косинусы от $1^\circ$ до $89^\circ$ положительны, а косинусы от $91^\circ$ до $179^\circ$ отрицательны. Таким образом, сумма будет положительной.

Когда $180 \leq n \leq 359$:

• При $180 \leq n \leq 359$ количество отрицательных чисел будет больше, чем положительных, потому что косинусы от $181^\circ$ до $269^\circ$ отрицательны, а косинусы от $271^\circ$ до $359^\circ$ положительны. Таким образом, сумма будет отрицательной.

Итоговые ответы:

а) при $1 \leq n \leq 178$: $S_n > 0$

б) при $180 \leq n \leq 359$: $S_n < 0$

в) при $n = 360k$ и $n = 360k — 181$: $S_n = 0$