ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите sinа, cosа, tgа, ctgа для заданного значения угла а:

a) 90°;

б) 180°;

в) 270°;

г) 360°.

Вычислить значения тригонометрических функций для заданного угла:

а) $a={90}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {90}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{9\pi }{18}=\frac{\pi }{2};$

$$\sin a=\sin \frac{\pi }{2}=1;$$$$\cos a=\cos \frac{\pi }{2}=0;$$$$tga=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{1}{0}-\text{нет};$$$$ctga=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{0}{1}=0;$$

б) $a={180}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {180}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\pi ;$

$$\sin a=\sin \pi =0;$$$$\cos a=\cos \pi =-1;$$$$tga=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{0}{-1}=0;$$$$ctga=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-1}{0}-\text{нет};$$

в) $a={270}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {270}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{27\pi }{18}=\frac{3\pi }{2};$

$$\sin a=\sin \frac{3\pi }{2}=-1;$$$$\cos a=\cos \frac{3\pi }{2}=0;$$$$tga=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-1}{0}-\text{нет};$$$$ctga=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{0}{-1}=0;$$

г) $a={360}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {360}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{36\pi }{18}=2\pi ;$

$$\sin a=\sin 2\pi =0;$$$$\cos a=\cos 2\pi =1;$$$$tga=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{0}{1}=0;$$$$ctga=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{1}{0}-\text{нет}$$

а) $a={90}^{\circ }$

Для начала переведем угол ${90}^{\circ }$ в радианы:

$$a={90}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {90}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{9\pi }{18}=\frac{\pi }{2}$$

Теперь, когда угол $a$ выражен в радианах, можно вычислить значения тригонометрических функций.

1. Синус ($\sin a$)

Сначала вычислим синус угла $a$:

$$\sin a=\sin \frac{\pi }{2}$$

Из таблицы значений тригонометрических функций для углов мы знаем, что $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Это потому, что синус угла $\frac{\pi }{2}$ (или ${90}^{\circ }$) равен 1, так как точка на единичной окружности, соответствующая этому углу, имеет координаты $(0,1)$.

Итак:

$$\sin a=1$$

2. Косинус ($\cos a$)

Теперь вычислим косинус угла $a$:

$$\cos a=\cos \frac{\pi }{2}$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos \frac{\pi }{2}=0$, так как точка на единичной окружности для угла $\frac{\pi }{2}$ (или ${90}^{\circ }$) имеет координаты $(0,1)$, и ее абсцисса (координата по оси $x$) равна 0.

Итак:

$$\cos a=0$$

3. Тангенс ($\mathrm{tg}a$)

Для вычисления тангенса используем его определение:

Подставим найденные значения для синуса и косинуса:

Так как деление на ноль невозможно, то тангенс угла $a={90}^{\circ }$ не существует. В математике говорят, что тангенс данного угла не определен.

Итак:

4. Котангенс (ctg$a$)

Теперь вычислим котангенс угла $a$. Его определение:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставим значения:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{0}{1}=0$$

Итак:

$$\mathrm{ctg}a=0$$

б) $a={180}^{\circ }$

Переведем угол ${180}^{\circ }$ в радианы:

$$a={180}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {180}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\pi$$

Теперь, когда угол $a$ выражен в радианах, можно вычислить значения тригонометрических функций.

1. Синус ($\sin a$)

Вычислим синус угла $a$:

$$\sin a=\sin \pi$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin \pi =0$, так как точка на единичной окружности для угла $\pi$ (или ${180}^{\circ }$) имеет координаты $(-1,0)$, и ее ордината (координата по оси $y$) равна 0.

Итак:

$$\sin a=0$$

2. Косинус ($\cos a$)

Теперь вычислим косинус угла $a$:

$$\cos a=\cos \pi$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos \pi =-1$, так как точка на единичной окружности для угла $\pi$ (или ${180}^{\circ }$) имеет координаты $(-1,0)$, и ее абсцисса (координата по оси $x$) равна -1.

Итак:

$$\cos a=-1$$

3. Тангенс ()

Для вычисления тангенса используем его определение:

Подставим значения для синуса и косинуса:

Итак:

4. Котангенс ($\mathrm{ctg}a$)

Теперь вычислим котангенс угла $a$:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставим значения:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{-1}{0}$$

Так как деление на ноль невозможно, котангенс угла $a={180}^{\circ }$ не существует.

Итак:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{-1}{0}-\text{нет}$$

в) $a={270}^{\circ }$

Переведем угол ${270}^{\circ }$ в радианы:

$$a={270}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {270}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{27\pi }{18}=\frac{3\pi }{2}$$

Теперь, когда угол $a$ выражен в радианах, можно вычислить значения тригонометрических функций.

1. Синус ($\sin a$)

Вычислим синус угла $a$:

$$\sin a=\sin \frac{3\pi }{2}$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$, так как точка на единичной окружности для угла $\frac{3\pi }{2}$ (или ${270}^{\circ }$) имеет координаты $(0,-1)$, и ее ордината (координата по оси $y$) равна -1.

Итак:

$$\sin a=-1$$

2. Косинус ($\cos a$)

Теперь вычислим косинус угла $a$:

$$\cos a=\cos \frac{3\pi }{2}$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, так как точка на единичной окружности для угла $\frac{3\pi }{2}$ (или ${270}^{\circ }$) имеет координаты $(0,-1)$, и ее абсцисса (координата по оси $x$) равна 0.

Итак:

$$\cos a=0$$

3. Тангенс ()

Для вычисления тангенса используем его определение:

Подставим значения:

Так как деление на ноль невозможно, тангенс угла $a={270}^{\circ }$ не существует.

Итак:

4. Котангенс ($\mathrm{ctg}a$)

Теперь вычислим котангенс угла $a$:

$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;">ctg</span>}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставим значения:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{0}{-1}=0$$

Итак:

$$\mathrm{ctg}a=0$$

г) $a={360}^{\circ }$

Переведем угол ${360}^{\circ }$ в радианы:

$$a={360}^{\circ }=\frac{\pi \cdot {360}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{36\pi }{18}=2\pi$$

Теперь, когда угол $a$ выражен в радианах, можно вычислить значения тригонометрических функций.

1. Синус ($\sin a$)

Вычислим синус угла $a$:

$$\sin a=\sin 2\pi$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin 2\pi =0$, так как точка на единичной окружности для угла $2\pi$ (или ${360}^{\circ }$) имеет координаты $(1,0)$, и ее ордината (координата по оси $y$) равна 0.

Итак:

$$\sin a=0$$

2. Косинус ($\cos a$)

Теперь вычислим косинус угла $a$:

$$\cos a=\cos 2\pi$$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos 2\pi =1$, так как точка на единичной окружности для угла $2\pi$ (или ${360}^{\circ }$) имеет координаты $(1,0)$, и ее абсцисса (координата по оси $x$) равна 1.

Итак:

$$\cos a=1$$

3. Тангенс ()

Для вычисления тангенса используем его определение:

Подставим значения:

Итак:

4. Котангенс ($\mathrm{ctg}a$)

Теперь вычислим котангенс угла $a$:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставим значения:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{1}{0}$$

Так как деление на ноль невозможно, котангенс угла $a={360}^{\circ }$ не существует.

Итак:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{1}{0}-\text{нет}$$