ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значения тригонометрических функций для заданного угла:

а) $a={30}^{\circ }$:

$$a=\frac{\pi \cdot {30}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6};$$$$\sin a=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2};$$$$\cos a=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2};$$$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}};$$$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3};$$

б) $a={150}^{\circ }$:

$$a=\frac{\pi \cdot {150}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{15\pi }{18}=\frac{5\pi }{6};$$$$\sin a=\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2};$$$$\cos a=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}};$$$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3};$$

в) $a={210}^{\circ }$:

$$a=\frac{\pi \cdot {210}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{21\pi }{18}=\frac{7\pi }{6};$$$$\sin a=\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2};$$$$\cos a=\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}};$$$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3};$$

г) $a={240}^{\circ }$:

$$a=\frac{\pi \cdot {240}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{24\pi }{18}=\frac{4\pi }{3};$$$$\sin a=\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$$$\cos a=\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2};$$$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3};$$$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

а) $a={30}^{\circ }$

Перевод угла в радианы:
Для перевода угла в радианы используется формула:

$$a=\frac{\pi \cdot \text{угол в градусах}}{{180}^{\circ }}$$

Подставляем $a={30}^{\circ }$:

$$a=\frac{\pi \cdot {30}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{30\pi }{180}=\frac{\pi }{6}$$

Таким образом, $a=\frac{\pi }{6}$ радиан.

Вычисление синуса:
Мы знаем, что для угла $\frac{\pi }{6}$, синус равен $\frac{1}{2}$:

$$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

Вычисление косинуса:
Для угла $\frac{\pi }{6}$ косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычисление тангенса:
Тангенс угла $a$ определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Вычисление котангенса:
Котангенс угла $a$ определяется как отношение косинуса к синусу:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Итак, для $a={30}^{\circ }$ (или $a=\frac{\pi }{6}$):

$$\sin a=\frac{1}{2},\cos a=\frac{\sqrt{3}}{2},\mathrm{tg}a=\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{ctg}a=\sqrt{3}$$

б) $a={150}^{\circ }$

Перевод угла в радианы:
Переводим угол в радианы:

$$a=\frac{\pi \cdot {150}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$$

Таким образом, $a=\frac{5\pi }{6}$ радиан.

Вычисление синуса:
Для угла $\frac{5\pi }{6}$ синус равен $\frac{1}{2}$:

$$\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

Вычисление косинуса:
Косинус угла $\frac{5\pi }{6}$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычисление тангенса:
Тангенс угла $a$ определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Вычисление котангенса:
Котангенс угла $a$ определяется как отношение косинуса к синусу:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{6}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}$$

Итак, для $a={150}^{\circ }$ (или $a=\frac{5\pi }{6}$):

$$\sin a=\frac{1}{2},\cos a=-\frac{\sqrt{3}}{2},\mathrm{tg}a=-\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{ctg}a=-\sqrt{3}$$

в) $a={210}^{\circ }$

Перевод угла в радианы:
Переводим угол в радианы:

$$a=\frac{\pi \cdot {210}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{210\pi }{180}=\frac{7\pi }{6}$$

Таким образом, $a=\frac{7\pi }{6}$ радиан.

Вычисление синуса:
Для угла $\frac{7\pi }{6}$ (или ${210}^{\circ }$) синус равен $-\frac{1}{2}$:

$$\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$$

Вычисление косинуса:
Косинус угла $\frac{7\pi }{6}$ равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычисление тангенса:
Тангенс угла $a$ определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{tg}\frac{7\pi }{6}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Вычисление котангенса:
Котангенс угла $a$ определяется как отношение косинуса к синусу:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{6}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Итак, для $a={210}^{\circ }$ (или $a=\frac{7\pi }{6}$):

$$\sin a=-\frac{1}{2},\cos a=-\frac{\sqrt{3}}{2},\mathrm{tg}a=\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{ctg}a=\sqrt{3}$$

г) $a={240}^{\circ }$

Перевод угла в радианы:
Переводим угол в радианы:

$$a=\frac{\pi \cdot {240}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{240\pi }{180}=\frac{4\pi }{3}$$

Таким образом, $a=\frac{4\pi }{3}$ радиан.

Вычисление синуса:
Для угла $\frac{4\pi }{3}$ (или ${240}^{\circ }$) синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычисление косинуса:
Косинус угла $\frac{4\pi }{3}$ равен $-\frac{1}{2}$:

$$\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$$

Вычисление тангенса:
Тангенс угла $a$ определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{tg}\frac{4\pi }{3}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Вычисление котангенса:
Котангенс угла $a$ определяется как отношение косинуса к синусу:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$$

Подставляем значения:

$$\mathrm{ctg}\frac{4\pi }{3}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Итак, для $a={240}^{\circ }$ (или $a=\frac{4\pi }{3}$):

$$\sin a=-\frac{\sqrt{3}}{2},\cos a=-\frac{1}{2},\mathrm{tg}a=\sqrt{3},\mathrm{ctg}a=\frac{1}{\sqrt{3}}$$