ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Расположить числа в порядке возрастания:

a) $\sin 40^\circ$; $\sin 80^\circ$; $\sin 120^\circ$; $\sin 160^\circ$;

$$\sin 40^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 40^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{2\pi}{9};$$ $$\sin 80^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{4\pi}{9};$$ $$\sin 120^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{6\pi}{9};$$ $$\sin 160^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{8\pi}{9};$$

Все числа принадлежат I и II четвертям:

$$\sin t > 0;$$ $$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{4\pi}{18} \right| = \frac{5\pi}{18};$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{4\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{8\pi}{18} \right| = \frac{\pi}{18};$$ $$y_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{6\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} \right| = \frac{3\pi}{18};$$ $$y_4 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{8\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{16\pi}{18} \right| = \frac{7\pi}{18};$$

Ответ: $\sin 160^\circ$; $\sin 40^\circ$; $\sin 120^\circ$; $\sin 80^\circ$.

б) $\cos 40^\circ$; $\cos 80^\circ$; $\cos 120^\circ$; $\cos 160^\circ$;

$$\cos 40^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 40^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{2\pi}{9};$$ $$\cos 80^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{4\pi}{9};$$ $$\cos 120^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{6\pi}{9};$$ $$\cos 160^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{8\pi}{9};$$

Первые два числа принадлежат I четверти:

$$\cos t > 0;$$ $$x_1 = \left| 0 — \frac{2\pi}{9} \right| = \frac{2\pi}{9};$$ $$x_2 = \left| 0 — \frac{4\pi}{9} \right| = \frac{4\pi}{9};$$

Последние два числа принадлежат II четверти:

$$\cos t < 0;$$ $$x_3 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{6\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{12\pi}{18} \right| = \frac{3\pi}{18};$$ $$x_4 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{8\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{16\pi}{18} \right| = \frac{7\pi}{18};$$

Ответ: $\cos 160^\circ$; $\cos 120^\circ$; $\cos 80^\circ$; $\cos 40^\circ$.

Расположить числа в порядке возрастания:

a) $\sin 40^\circ$; $\sin 80^\circ$; $\sin 120^\circ$; $\sin 160^\circ$.

Чтобы расположить эти числа в порядке возрастания, нам необходимо понять, как изменяются значения функции синуса для углов в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Мы будем использовать теорему о том, что синус является положительным в первой и второй четвертях, и его значения изменяются от 0 до 1.

Шаг 1. Преобразуем углы в радианы

Сначала переведем углы в радианы, так как мы будем работать с радианами, чтобы вычислить значения синусов.

$$\sin 40^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 40^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{2\pi}{9};$$ $$\sin 80^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{4\pi}{9};$$ $$\sin 120^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{6\pi}{9};$$ $$\sin 160^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{8\pi}{9}.$$

Таким образом, мы получаем синусы углов в виде: $\sin \frac{2\pi}{9}$, $\sin \frac{4\pi}{9}$, $\sin \frac{6\pi}{9}$, и $\sin \frac{8\pi}{9}$.

Шаг 2. Определим порядок величин

Значения синуса монотонно возрастают на отрезке от $0^\circ$ до $90^\circ$, и затем монотонно убывают на отрезке от $90^\circ$ до $180^\circ$. Это означает, что синус $40^\circ$ меньше, чем синус $80^\circ$, а синус $120^\circ$ больше, чем синус $80^\circ$, но меньше, чем синус $160^\circ$.

Шаг 3. Сравним углы для точности

Вместо того чтобы сразу использовать значения синусов, мы можем оценить их разницу относительно угла $90^\circ$, где синус достигает максимума. Для этого используем разницу углов $40^\circ$, $80^\circ$, $120^\circ$ и $160^\circ$ от $90^\circ$:

• Для $\sin 40^\circ$: $\left| 90^\circ — 40^\circ \right| = 50^\circ$.
• Для $\sin 80^\circ$: $\left| 90^\circ — 80^\circ \right| = 10^\circ$.
• Для $\sin 120^\circ$: $\left| 90^\circ — 120^\circ \right| = 30^\circ$.
• Для $\sin 160^\circ$: $\left| 90^\circ — 160^\circ \right| = 70^\circ$.

Чем меньше разница между углом и $90^\circ$, тем больше значение синуса. Таким образом, в порядке возрастания синусов получаем:

$$\sin 160^\circ < \sin 40^\circ < \sin 120^\circ < \sin 80^\circ.$$

Ответ: $\sin 160^\circ$; $\sin 40^\circ$; $\sin 120^\circ$; $\sin 80^\circ$.

б) $\cos 40^\circ$; $\cos 80^\circ$; $\cos 120^\circ$; $\cos 160^\circ$.

Аналогично предыдущему пункту, для косинусов необходимо учитывать, что косинус положителен в первой четверти ($0^\circ$ до $90^\circ$) и отрицателен во второй четверти ($90^\circ$ до $180^\circ$).

Шаг 1. Преобразуем углы в радианы

Переводим углы в радианы:

$$\cos 40^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 40^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{2\pi}{9};$$ $$\cos 80^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{4\pi}{9};$$ $$\cos 120^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{6\pi}{9};$$ $$\cos 160^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \cos \frac{8\pi}{9}.$$

Шаг 2. Определим порядок величин

Значение косинуса для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ убывает, а для углов от $90^\circ$ до $180^\circ$ — отрицательное. Таким образом, порядок косинусов будет следующим:

• Для углов в первой четверти ($40^\circ$ и $80^\circ$) значения косинуса положительные, и чем меньше угол, тем больше косинус.
• Для углов в второй четверти ($120^\circ$ и $160^\circ$) значения косинуса отрицательные, и чем больше угол, тем меньше косинус.

Шаг 3. Сравним углы

Для точности, сравним углы, используя их разницу от $0^\circ$ и $90^\circ$:

• Для $\cos 40^\circ$: $\left| 0^\circ — 40^\circ \right| = 40^\circ$.
• Для $\cos 80^\circ$: $\left| 0^\circ — 80^\circ \right| = 80^\circ$.
• Для $\cos 120^\circ$: $\left| 180^\circ — 120^\circ \right| = 60^\circ$.
• Для $\cos 160^\circ$: $\left| 180^\circ — 160^\circ \right| = 20^\circ$.

Так как косинус убывает для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$, а затем отрицателен для углов от $90^\circ$ до $180^\circ$, получаем следующий порядок:

$$\cos 160^\circ < \cos 120^\circ < \cos 80^\circ < \cos 40^\circ.$$

Ответ: $\cos 160^\circ$; $\cos 120^\circ$; $\cos 80^\circ$; $\cos 40^\circ$.