ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) sin 380°; sin 830°; sin 210°; sin 1000°;

б) cos 390°; cos 460°; cos 920°; cos 650°

Расположить числа в порядке возрастания:

а) sin 380°; sin 830°; sin 210°; sin 1000°;

$$\sin 380^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 380^\circ}{180} = \sin \frac{19\pi}{9} = \sin \frac{\pi}{9};$$ $$\sin 830^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 830^\circ}{180} = \sin \frac{83\pi}{18} = \sin \frac{11\pi}{18};$$ $$\sin 210^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 210^\circ}{180} = \sin \frac{7\pi}{6};$$ $$\sin 1000^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 1000^\circ}{180} = \sin \frac{50\pi}{9} = \sin \frac{14\pi}{9};$$

Первые два числа принадлежат I и II четвертям:

$$\sin t > 0;$$ $$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{2\pi}{18} \right| = \frac{7\pi}{18};$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{11\pi}{18} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{11\pi}{18} \right| = \frac{2\pi}{18};$$

Третье число принадлежит III четверти:

$$\sin t < 0;$$ $$y_3 = \left| \pi — \frac{7\pi}{6} \right| = \left| \frac{18\pi}{18} — \frac{21\pi}{18} \right| = \frac{3\pi}{18};$$

Последнее число принадлежит IV четверти:

$$\sin t < 0;$$ $$y_4 = \left| 2\pi — \frac{14\pi}{9} \right| = \left| \frac{36\pi}{18} — \frac{28\pi}{18} \right| = \frac{8\pi}{18};$$

Ответ: $\sin 1000^\circ; \sin 210^\circ; \sin 380^\circ; \sin 830^\circ.$

б) cos 390°; cos 460°; cos 920°; cos 650°;

$$\cos 390^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 390^\circ}{180} = \cos \frac{13\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6};$$ $$\cos 460^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 460^\circ}{180} = \cos \frac{23\pi}{9} = \cos \frac{5\pi}{9};$$ $$\cos 920^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 920^\circ}{180} = \cos \frac{46\pi}{9} = \cos \frac{10\pi}{9};$$ $$\cos 650^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 650^\circ}{180} = \cos \frac{65\pi}{18} = \cos \frac{29\pi}{18};$$

Первое число принадлежит I четверти:

$$\cos t > 0;$$ $$x_1 = \left| 0 — \frac{\pi}{6} \right| = \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{18};$$

Второе число принадлежит II четверти:

$$\cos t < 0;$$ $$x_2 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{10\pi}{18} \right| = \frac{\pi}{18};$$

Третье число принадлежит III четверти:

$$\cos t < 0;$$ $$x_3 = \left| \pi — \frac{10\pi}{9} \right| = \left| \frac{18\pi}{18} — \frac{20\pi}{18} \right| = \frac{2\pi}{18};$$

Четвертое число принадлежит IV четверти:

$$\cos t > 0;$$ $$x_4 = \left| 2\pi — \frac{29\pi}{18} \right| = \left| \frac{36\pi}{18} — \frac{29\pi}{18} \right| = \frac{7\pi}{18};$$

Ответ: $\cos 920^\circ; \cos 460^\circ; \cos 650^\circ; \cos 390^\circ.$

а) $\sin 380^\circ; \sin 830^\circ; \sin 210^\circ; \sin 1000^\circ$:

Шаг 1. Приводим углы к стандартному виду.

Для этого переведем каждый угол в радианы, а затем используем свойства синуса, чтобы упростить выражения. Обратите внимание, что период синуса составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан.

$\sin 380^\circ$:

$$\sin 380^\circ = \sin(380^\circ — 360^\circ) = \sin 20^\circ.$$

Поскольку угол $20^\circ$ меньше $90^\circ$, то синус этого угла положительный.

$\sin 830^\circ$:

$$\sin 830^\circ = \sin(830^\circ — 2 \times 360^\circ) = \sin 110^\circ.$$

Угол $110^\circ$ находится в 2-й четверти, где синус положительный.

$\sin 210^\circ$:

$$\sin 210^\circ = \sin(210^\circ — 180^\circ) = \sin 30^\circ.$$

Угол $210^\circ$ находится в 3-й четверти, где синус отрицательный.

$\sin 1000^\circ$:

$$\sin 1000^\circ = \sin(1000^\circ — 2 \times 360^\circ) = \sin 280^\circ.$$

Угол $280^\circ$ находится в 4-й четверти, где синус отрицательный.

Таким образом, получаем следующие эквивалентные углы:

$$\sin 380^\circ = \sin 20^\circ, \quad \sin 830^\circ = \sin 110^\circ, \quad \sin 210^\circ = \sin 30^\circ, \quad \sin 1000^\circ = \sin 280^\circ.$$

Шаг 2. Определяем знаки синусов.

1. $\sin 20^\circ$ — угол в 1-й четверти, синус положительный.
2. $\sin 110^\circ$ — угол во 2-й четверти, синус положительный.
3. $\sin 30^\circ$ — угол в 3-й четверти, синус отрицательный.
4. $\sin 280^\circ$ — угол в 4-й четверти, синус отрицательный.

Шаг 3. Определяем величину синусов.

Чтобы правильно сравнить значения синусов, найдем их приближенные значения:

1. $\sin 20^\circ \approx 0.3420$
2. $\sin 110^\circ \approx 0.9397$
3. $\sin 30^\circ = 0.5$
4. $\sin 280^\circ \approx -0.1736$

Шаг 4. Составляем порядок возрастания:

На основе этих значений можно расположить числа в порядке возрастания:

$$\sin {1000}^{\circ }(\sin {280}^{\circ })\approx -0.1736,\sin {210}^{\circ }(\sin {30}^{\circ })=0.5,$$

$$\sin 1000^\circ (\sin 280^\circ) \approx -0.1736, \quad \sin 210^\circ (\sin 30^\circ) = 0.5, \quad \sin 380^\circ (\sin 20^\circ) \approx 0.3420, \quad \sin 830^\circ (\sin 110^\circ) \approx 0.9397.$$

Ответ:

$$\sin 1000^\circ, \sin 380^\circ, \sin 210^\circ, \sin 830^\circ.$$

б) $\cos 390^\circ; \cos 460^\circ; \cos 920^\circ; \cos 650^\circ$:

Шаг 1. Приводим углы к стандартному виду.

Как и в случае с синусами, для косинусов будем приводить углы к диапазону $0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ (или эквивалентно $0 \leq \theta < 2\pi$):

$\cos 390^\circ$:

$$\cos 390^\circ = \cos(390^\circ — 360^\circ) = \cos 30^\circ.$$

Угол $30^\circ$ находится в 1-й четверти, где косинус положительный.

$\cos 460^\circ$:

$$\cos 460^\circ = \cos(460^\circ — 360^\circ) = \cos 100^\circ.$$

Угол $100^\circ$ находится во 2-й четверти, где косинус отрицательный.

$\cos 920^\circ$:

$$\cos 920^\circ = \cos(920^\circ — 2 \times 360^\circ) = \cos 200^\circ.$$

Угол $200^\circ$ находится в 3-й четверти, где косинус отрицательный.

$\cos 650^\circ$:

$$\cos 650^\circ = \cos(650^\circ — 360^\circ) = \cos 290^\circ.$$

Угол $290^\circ$ находится в 4-й четверти, где косинус положительный.

Таким образом, получаем следующие эквивалентные углы:

$$\cos {390}^{\circ }=\cos {30}^{\circ },\cos {460}^{\circ }=\cos {100}^{\circ },$$

$$\cos 390^\circ = \cos 30^\circ, \quad \cos 460^\circ = \cos 100^\circ, \quad \cos 920^\circ = \cos 200^\circ, \quad \cos 650^\circ = \cos 290^\circ.$$

Шаг 2. Определяем знаки косинусов.

1. $\cos 30^\circ$ — угол в 1-й четверти, косинус положительный.
2. $\cos 100^\circ$ — угол во 2-й четверти, косинус отрицательный.
3. $\cos 200^\circ$ — угол в 3-й четверти, косинус отрицательный.
4. $\cos 290^\circ$ — угол в 4-й четверти, косинус положительный.

Шаг 3. Определяем величину косинусов.

Найдем приближенные значения косинусов:

1. $\cos 30^\circ \approx 0.8660$
2. $\cos 100^\circ \approx -0.1736$
3. $\cos 200^\circ \approx -0.9397$
4. $\cos 290^\circ \approx 0.1736$

Шаг 4. Составляем порядок возрастания:

Сравнивая значения косинусов, получаем:

$$\cos {920}^{\circ }(\cos {200}^{\circ })\approx -0.9397,\cos {460}^{\circ }(\cos {100}^{\circ })\approx -0.1736,$$

$$\cos 920^\circ (\cos 200^\circ) \approx -0.9397, \quad \cos 460^\circ (\cos 100^\circ) \approx -0.1736, \quad \cos 650^\circ (\cos 290^\circ) \approx 0.1736, \quad \cos 390^\circ (\cos 30^\circ) \approx 0.8660.$$

Ответ:

$$\cos 920^\circ, \cos 460^\circ, \cos 650^\circ, \cos 390^\circ.$$