ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\sin 22,5^\circ$; $\cos 37,4^\circ$; $\cos 990^\circ$; $\sin 990^\circ$;

$$\sin 22,5^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 22,5}{180} = \sin \frac{\pi}{8};$$ $$\cos 37,4^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 37,4}{180} = \cos \frac{187\pi}{900};$$ $$\cos 990^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 990}{180} = \cos \frac{11\pi}{2} = \cos \frac{3\pi}{2} = 0;$$ $$\sin 990^\circ = \sin \frac{3\pi}{2} = -1;$$

Первые два числа принадлежат I четверти:

$$\sin t > 0;$$ $$\cos t > 0;$$ $$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{187\pi}{900} \right| = \left| \frac{450\pi}{900} — \frac{187\pi}{900} \right| = \frac{263\pi}{900};$$ $$x_2 = \left| 0 — \frac{\pi}{8} \right| = \frac{\pi}{8};$$

Ответ: $\sin 990^\circ$; $\cos 990^\circ$; $\sin 22,5^\circ$; $\cos 37,4^\circ$.

б) $\operatorname{tg} 100^\circ$; $\operatorname{ctg} 225^\circ$; $\cos 94,3^\circ$; $\sin 77^\circ$;

$$\operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg} \frac{\pi \cdot 100}{180} = \operatorname{tg} \frac{5\pi}{9};$$ $$\operatorname{ctg} 225^\circ = \operatorname{ctg} \frac{\pi \cdot 225}{180} = \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = 1;$$ $$\cos 94,3^\circ = \cos \frac{\pi \cdot 94,3}{180} = \cos \frac{943\pi}{1800};$$ $$\sin 77^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 77}{180} = \sin \frac{77\pi}{180};$$

Первое число принадлежит II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \frac{3\pi}{4};$$ $$|\sin t| > |\cos t|;$$ $$\operatorname{tg} t < 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} < -1;$$

Третье число принадлежит II четверти:

$$\cos t < 0;$$

Третье число принадлежит I четверти:

$$\sin t > 0;$$

Ответ: $\operatorname{tg} 100^\circ$; $\cos 94,3^\circ$; $\sin 77^\circ$; $\operatorname{ctg} 225^\circ$.

а) $\sin 22,5^\circ$; $\cos 37,4^\circ$; $\cos 990^\circ$; $\sin 990^\circ$

Шаг 1. Приведение углов к стандартному виду.

Для того чтобы вычислить синусы и косинусы, нужно перевести углы в стандартный интервал $[0^\circ, 360^\circ]$ или эквивалентно $[0, 2\pi]$ для радиан.

$\sin 22,5^\circ$:
Угол уже находится в нужном интервале, так что синус этого угла остается как есть. Для упрощения записи используем $\sin 22,5^\circ = \sin \frac{\pi}{8}$.

$\cos 37,4^\circ$:
Это также угол в нужном интервале, и его значение записано как $\cos 37,4^\circ = \cos \frac{187\pi}{900}$.

$\cos 990^\circ$:
Чтобы привести угол $990^\circ$ в стандартный интервал, вычитаем $360^\circ$ до тех пор, пока угол не окажется в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ]$:

$$990^\circ — 2 \times 360^\circ = 990^\circ — 720^\circ = 270^\circ.$$

Таким образом, $\cos 990^\circ = \cos 270^\circ = 0$.

$\sin 990^\circ$:
Для приведения угла $990^\circ$ в стандартный вид, снова вычитаем $360^\circ$:

$$990^\circ — 2 \times 360^\circ = 270^\circ.$$

Таким образом, $\sin 990^\circ = \sin 270^\circ = -1$.

Теперь имеем:

$$\sin 22,5^{\circ }=\sin \frac{\pi }{8},\cos 37,4^{\circ }=\cos \frac{187\pi }{900},$$

$$\sin 22,5^\circ = \sin \frac{\pi}{8}, \quad \cos 37,4^\circ = \cos \frac{187\pi}{900}, \quad \cos 990^\circ = 0, \quad \sin 990^\circ = -1.$$

Шаг 2. Определение знаков чисел.

1. $\sin 22,5^\circ$: угол $22,5^\circ$ находится в 1-й четверти, где синус положительный.
2. $\cos 37,4^\circ$: угол $37,4^\circ$ также находится в 1-й четверти, где косинус положительный.
3. $\cos 990^\circ = 0$: значение косинуса на $270^\circ$ равно $0$.
4. $\sin 990^\circ = -1$: значение синуса на $270^\circ$ равно $-1$.

Шаг 3. Сравнение значений чисел.

Теперь давайте вычислим числовые значения синусов и косинусов, чтобы более точно сравнить их.

1. $\sin 22,5^\circ$ (или $\sin \frac{\pi}{8}$) — это примерно $0.3827$.
2. $\cos 37,4^\circ$ (или $\cos \frac{187\pi}{900}$) — это примерно $0.7986$.
3. $\cos 990^\circ = 0$.
4. $\sin 990^\circ = -1$.

Шаг 4. Расположение чисел в порядке возрастания.

На основе вычисленных значений чисел можем расположить их в порядке возрастания:

$$\sin 990^\circ = -1, \quad \cos 990^\circ = 0, \quad \sin 22,5^\circ \approx 0.3827, \quad \cos 37,4^\circ \approx 0.7986.$$

Ответ:

$$\sin 990^\circ; \cos 990^\circ; \sin 22,5^\circ; \cos 37,4^\circ.$$

б) $\operatorname{tg} 100^\circ$; $\operatorname{ctg} 225^\circ$; $\cos 94,3^\circ$; $\sin 77^\circ$

Шаг 1. Приведение углов к стандартному виду.

$\operatorname{tg} 100^\circ$:
Для угла $100^\circ$ мы оставляем его как есть, так как он уже находится в интервале $[0^\circ, 180^\circ]$. Напишем его как $\operatorname{tg} 100^\circ = \operatorname{tg} \frac{5\pi}{9}$.

$\operatorname{ctg} 225^\circ$:
Угол $225^\circ$ находится в 3-й четверти. Значение котангенса угла $225^\circ$ равно $1$ (так как $\operatorname{ctg} 225^\circ = \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = 1$).

$\cos 94,3^\circ$:
Угол $94,3^\circ$ находится в 2-й четверти. Преобразуем угол в радианы:

$$\cos 94,3^\circ = \cos \frac{943\pi}{1800}.$$

Это значение косинуса будет отрицательным, так как угол в 2-й четверти.

$\sin 77^\circ$:
Угол $77^\circ$ находится в 1-й четверти, и синус этого угла положительный. Преобразуем в радианы:

$$\sin 77^\circ = \sin \frac{77\pi}{180}.$$

Шаг 2. Определение знаков чисел.

1. $\operatorname{tg} 100^\circ$: угол $100^\circ$ находится во 2-й четверти, где тангенс отрицателен.
2. $\operatorname{ctg} 225^\circ = 1$: котангенс на угле $225^\circ$ равен $1$.
3. $\cos 94,3^\circ$: угол $94,3^\circ$ находится во 2-й четверти, где косинус отрицателен.
4. $\sin 77^\circ$: угол $77^\circ$ находится в 1-й четверти, где синус положительный.

Шаг 3. Сравнение значений чисел.

1. $\operatorname{tg} 100^\circ$: тангенс угла $100^\circ$ отрицателен и меньше $-1$.
2. $\operatorname{ctg} 225^\circ = 1$.
3. $\cos 94,3^\circ$: значение косинуса на угле $94,3^\circ$ отрицательное, его приближенное значение составляет около $-0.1045$.
4. $\sin 77^\circ$: значение синуса на угле $77^\circ$ положительное, его приближенное значение составляет около $0.9749$.

Шаг 4. Расположение чисел в порядке возрастания.

На основе этих значений расположим числа:

$$\mathrm{tg}{100}^{\circ }(\text{отрицательное, меньше }-1),\cos 94,3^{\circ }\approx -0.1045,$$

$$\operatorname{tg} 100^\circ \quad (\text{отрицательное, меньше } -1), \quad \cos 94,3^\circ \approx -0.1045, \quad \sin 77^\circ \approx 0.9749, \quad \operatorname{ctg} 225^\circ = 1.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg} 100^\circ; \cos 94,3^\circ; \sin 77^\circ; \operatorname{ctg} 225^\circ.$$

Итоговое решение:

а) $\sin 990^\circ; \cos 990^\circ; \sin 22,5^\circ; \cos 37,4^\circ$.

б) $\operatorname{tg} 100^\circ; \cos 94,3^\circ; \sin 77^\circ; \operatorname{ctg} 225^\circ$.