ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение функции:

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

$y(x) = 2 \sin \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \left( \frac{8\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \frac{7\pi}{6} + 1;$

$y(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 = -1 + 1 = 0;$

Ответ: 0.

б) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

$y(x) = -\sin \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

$y(x) = 2 \sin \left( \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 2 \sin \frac{5\pi}{6} + 1 = 2 \sin \pi + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1;$

Ответ: 1.

г) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$;

$y(x) = -\sin \left( -\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\frac{14\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\frac{7\pi}{2} \right);$

$y(x) = -\sin \left( 4\pi — \frac{7\pi}{2} \right) = -\sin \left( \frac{8\pi}{2} — \frac{7\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$

Ответ: -1.

а) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$

Шаг 1: Подставим значение $x = \frac{4\pi}{3}$ в выражение для $y$

Мы начинаем с подстановки значения $x = \frac{4\pi}{3}$ в исходное выражение:

$$y(x) = 2 \sin \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{6} \right) + 1.$$

Шаг 2: Упростим выражение внутри синуса

Выполним вычитание углов внутри синуса:

$$\frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.$$

Теперь выражение для $y$ примет вид:

$$y(x) = 2 \sin \frac{7\pi}{6} + 1.$$

Шаг 3: Рассчитаем $\sin \frac{7\pi}{6}$

Мы знаем, что угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Угол $\frac{7\pi}{6}$ равен $180^\circ + 30^\circ$, и мы можем использовать тождество:

$$\sin(180^\circ + \theta) = -\sin \theta.$$

Таким образом, $\sin \frac{7\pi}{6} = -\sin \frac{\pi}{6}$. Известно, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 4: Подставим значение синуса в выражение для $y$

Теперь подставляем значение $\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ в выражение для $y$:

$$y(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 = -1 + 1 = 0.$$

Ответ для (а):

$$y = 0.$$

б) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Подставим значение $x = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для $y$

Подставляем в выражение для $y$:

$$y(x) = -\sin \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right).$$

Шаг 2: Упростим выражение внутри синуса

Выполним сложение углов:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}.$$

Теперь выражение для $y$ становится:

$$y(x) = -\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right).$$

Шаг 3: Рассчитаем $\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right)$

Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$. Поэтому:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{4}.$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 4: Подставим значение синуса в выражение для $y$

Теперь подставляем значение $\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в выражение для $y$:

$$y(x) = -\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ для (б):

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

в) $y = 2 \sin \left( x — \frac{\pi}{6} \right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$

Шаг 1: Подставим значение $x = \frac{7\pi}{6}$ в выражение для $y$

Подставляем в исходное выражение для $y$:

$$y(x) = 2 \sin \left( \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6} \right) + 1.$$

Шаг 2: Упростим выражение внутри синуса

Выполним вычитание углов:

$$\frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi.$$

Теперь выражение для $y$ становится:

$$y(x) = 2 \sin \pi + 1.$$

Шаг 3: Рассчитаем $\sin \pi$

Известно, что $\sin \pi = 0$, следовательно:

$$y(x) = 2 \cdot 0 + 1 = 1.$$

Ответ для (в):

$$y = 1.$$

г) $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$

Шаг 1: Подставим значение $x = -\frac{15\pi}{4}$ в выражение для $y$

Подставляем в исходное выражение для $y$:

$$y(x) = -\sin \left( -\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right).$$

Шаг 2: Упростим выражение внутри синуса

Выполним сложение углов:

$$-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{14\pi}{4} = -\frac{7\pi}{2}.$$

Теперь выражение для $y$ становится:

$$y(x) = -\sin \left( -\frac{7\pi}{2} \right).$$

Шаг 3: Используем периодичность синуса

Синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, следовательно:

$$\sin \left( -\frac{7\pi}{2} \right) = \sin \left( 4\pi — \frac{7\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{8\pi}{2} — \frac{7\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2}.$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, следовательно:

$$y(x) = -1.$$

Ответ для (г):

$$y = -1.$$

Итоговые ответы:

а) $y = 0$

б) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $y = 1$

г) $y = -1$