ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = \sin 2x$, найти:

а) $f(-x) = \sin(-2x) = -\sin 2x$;
Ответ: $-\sin 2x$.

б) $2f(x) = 2 \cdot (\sin 2x) = 2 \sin 2x$;
Ответ: $2 \sin 2x$.

в) $f\left(-\frac{x}{2}\right) = \sin\left(-\frac{2x}{2}\right) = \sin(-x) = -\sin x$;
Ответ: $-\sin x$.

г) $f(-x) + f(x) = \sin(-2x) + \sin 2x = -\sin 2x + \sin 2x = 0$;
Ответ: $0$.

Задано:

$f(x) = \sin(2x)$.

Нам нужно найти следующие выражения:

а) Найти $f(-x)$

Чтобы найти $f(-x)$, подставляем вместо $x$ значение $-x$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x).$$

Теперь используем свойство синуса, которое гласит, что синус — нечетная функция. То есть для любого аргумента $a$ выполняется равенство:

$$\sin(-a) = -\sin(a).$$

Применим это свойство к нашему выражению:

$$\sin(-2x) = -\sin(2x).$$

Следовательно:

$$f(-x) = -\sin(2x).$$

Ответ: $-\sin(2x)$.

б) Найти $2f(x)$

Для нахождения $2f(x)$, просто умножим $f(x)$ на 2. Напоминаем, что $f(x) = \sin(2x)$, поэтому:

$$2f(x) = 2 \cdot \sin(2x).$$

Ответ: $2\sin(2x)$.

в) Найти $f\left(-\frac{x}{2}\right)$

Здесь нам нужно подставить $-\frac{x}{2}$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:

$$f\left(-\frac{x}{2}\right) = \sin\left(2\left(-\frac{x}{2}\right)\right) = \sin(-x).$$

Как и в предыдущем шаге, воспользуемся тем, что синус — нечетная функция, то есть:

$$\sin(-x) = -\sin(x).$$

Следовательно:

$$f\left(-\frac{x}{2}\right) = -\sin(x).$$

Ответ: $-\sin(x)$.

г) Найти $f(-x) + f(x)$

Для этого сложим два выражения для функции $f(x)$ и $f(-x)$. Мы уже нашли, что:

$$f(-x) = -\sin(2x),$$ $$f(x) = \sin(2x).$$

Теперь сложим эти два выражения:

$$f(-x) + f(x) = -\sin(2x) + \sin(2x).$$

Как видим, $-\sin(2x)$ и $\sin(2x)$ — противоположные числа, и их сумма будет равна 0:

$$f(-x) + f(x) = 0.$$

Ответ: $0$.

Итоговые ответы:

а) $f(-x) = -\sin(2x)$.
б) $2f(x) = 2\sin(2x)$.
в) $f\left(-\frac{x}{2}\right) = -\sin(x)$.
г) $f(-x) + f(x) = 0$.