ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha каких промежутках функция $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$:

а) возрастает;

б) убывает?

На каких промежутках функция $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$:

а) Возрастает;

Функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке:
$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2};$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Значит данная функция возрастает на отрезке:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$

б) Убывает;

Функция $y = \sin x$ убывает на отрезке:
$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2};$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

Значит данная функция убывает на отрезке:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n;$

Рассмотрим функцию $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$. Нужно найти промежутки её возрастания и убывания.

Шаг 1: Преобразование функции

Для начала представим функцию $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$ в более удобной форме. Это сдвиг стандартной функции $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо. То есть:

$$y = \sin(x — \frac{\pi}{3}) \quad \text{является сдвигом функции} \quad y = \sin(x)$$

при этом поведение функции не изменяется, просто её график сдвигается вправо на величину $\frac{\pi}{3}$.

Шаг 2: Промежутки возрастания и убывания функции $y = \sin(x)$

Для того чтобы решить задачу, начнем с анализа стандартной функции $y = \sin(x)$.

• Функция $y = \sin(x)$ возрастает на промежутке:

  $$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$$

  и периодически повторяется, поэтому на всех отрезках вида:

  $$\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}$$

  функция также возрастает.

• Функция $y = \sin(x)$ убывает на промежутке:

  $$\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$$

  и на всех отрезках вида:

  $$\left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}$$

  функция убывает.

Шаг 3: Применение сдвига

Теперь применим сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ вправо, который мы внесли в исходную функцию. Это сдвигает все промежутки возрастания и убывания функции $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

3.1 Промежутки возрастания

Функция $y = \sin(x)$ возрастает на промежутке:

$$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$$

Если этот промежуток сдвигать на $\frac{\pi}{3}$, то получим:

$$\left[ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right]$$

Упростим эти выражения:

$$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Следовательно, функция $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$ возрастает на промежутке:

$$\left[ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}$$

3.2 Промежутки убывания

Функция $y = \sin(x)$ убывает на промежутке:

$$\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$$

При сдвиге на $\frac{\pi}{3}$ получаем:

$$\left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right]$$

Упростим:

$$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$ $$\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$

Таким образом, функция $y = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$ убывает на промежутке:

$$\left[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}$$$$\left[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}$$