ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin x = \frac{2}{\pi} x$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \frac{2}{\pi} x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x_1 = \pm \frac{\pi}{2}; \, x_2 = 0$.

б) $\sin x + \left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 + 1 = 0$;

Преобразуем уравнение:
$\sin x = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1;$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1$ — уравнение параболы:
$x_0 = -\frac{\pi}{2}, \, y_0 = -1;$

Графики функций:

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

в) $\sin x = -\frac{4}{\pi} x + 3$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\frac{4}{\pi} x + 3$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

г) $\sin x = x^2 + 1$;

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = x^2 + 1$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0, \, y_0 = 1;$

Графики функций:

Ответ: нет корней.

а) $\sin x = \frac{2}{\pi} x$

1. Уравнение синусоиды и прямой:

• $y = \sin x$ — уравнение синусоиды. График функции $y = \sin x$ представляет собой волну, которая колеблется от $-1$ до $1$ с периодом $2\pi$. То есть для каждого $x$ функция $\sin x$ принимает значения в пределах от $-1$ до $1$.
• $y = \frac{2}{\pi} x$ — уравнение прямой, где угловой коэффициент равен $\frac{2}{\pi}$. Это линейная функция, которая растет с угловым коэффициентом $\frac{2}{\pi}$, то есть за каждый шаг $x$ на 1, $y$ увеличивается на $\frac{2}{\pi}$.

2. Вычисление значений для построения графиков:

Для более точного построения графиков подставим несколько значений $x$ в обе функции и посмотрим, как они себя ведут.

• Для $y = \sin x$:
  • При $x = 0$, $y = \sin(0) = 0$.
  • При $x = \pi$, $y = \sin(\pi) = 0$.
  • При $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
  • При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
• Для $y = \frac{2}{\pi} x$:
  • При $x = 0$, $y = \frac{2}{\pi}(0) = 0$.
  • При $x = \pi$, $y = \frac{2}{\pi}(\pi) = 2$.
  • При $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
  • При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

3. Построение графиков:

• График $y = \sin x$ будет волнообразным, колеблющимся от $-1$ до $1$.
• График $y = \frac{2}{\pi} x$ будет прямой, растущей с угловым коэффициентом $\frac{2}{\pi}$.

4. Пересечение графиков:

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение:

$$\sin x = \frac{2}{\pi} x$$

Решение этого уравнения может быть найдено как графически, так и численно. Графически видно, что функции пересекаются в трех точках: $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{2}$. Проверим, что они действительно равны в этих точках.

• При $x = 0$, обе функции дают $y = 0$.
• При $x = \pm \frac{\pi}{2}$, обе функции также дают $y = 1$.

Ответ: $x_1 = \pm \frac{\pi}{2}; \, x_2 = 0$.

б) $\sin x + \left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 + 1 = 0$

1. Преобразование уравнения:

Для удобства перепишем уравнение:

$$\sin x = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1$$

2. Уравнение синусоиды и параболы:

• $y = \sin x$ — уравнение синусоиды, которая колеблется между $-1$ и $1$.
• $y = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1$ — уравнение параболы, которая сдвинута по оси $y$ вниз на 1 единицу и направлена вниз, так как перед квадратичным членом стоит минус.

3. Вычисление значений для построения графиков:

Для построения графиков подставим несколько значений $x$:

• Для $y = \sin x$:
  • При $x = 0$, $y = \sin(0) = 0$.
  • При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
  • При $x = -\pi$, $y = \sin(-\pi) = 0$.
• Для $y = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1$:
  • При $x = 0$, $y = -\left( 0 + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1 = -\left( \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1 \approx -2.47$.
  • При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y = -\left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1 = -0^2 — 1 = -1$.
  • При $x = -\pi$, $y = -\left( -\pi + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1 \approx -3.46$.

4. Построение графиков:

• График $y = \sin x$ будет волнообразным.
• График $y = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1$ — парабола, направленная вниз и сдвинутая вниз на 1.

5. Пересечение графиков:

Решаем уравнение:

$$\sin x = -\left( x + \frac{\pi}{2} \right)^2 — 1$$

Графически видно, что функции пересекаются только в одной точке: $x = -\frac{\pi}{2}$, что подтверждается расчетами.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

в) $\sin x = -\frac{4}{\pi} x + 3$

1. Уравнение синусоиды и прямой:

• $y = \sin x$ — уравнение синусоиды.
• $y = -\frac{4}{\pi} x + 3$ — уравнение прямой, с угловым коэффициентом $-\frac{4}{\pi}$, что означает, что прямая будет иметь наклон вниз.

2. Вычисление значений для построения графиков:

Подставим несколько значений для построения графиков:

• Для $y = \sin x$:
  • При $x = 0$, $y = \sin(0) = 0$.
  • При $x = \pi$, $y = \sin(\pi) = 0$.
• Для $y = -\frac{4}{\pi} x + 3$:
  • При $x = 0$, $y = -\frac{4}{\pi}(0) + 3 = 3$.
  • При $x = \pi$, $y = -\frac{4}{\pi}(\pi) + 3 = -4 + 3 = -1$.

3. Построение графиков:

• График $y = \sin x$ будет волнообразным.
• График $y = -\frac{4}{\pi} x + 3$ будет прямой с угловым коэффициентом $-\frac{4}{\pi}$.

4. Пересечение графиков:

Решаем уравнение:

$$\sin x = -\frac{4}{\pi} x + 3$$

Очевидно, что функции пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{2}$, что подтверждается графически.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

г) $\sin x = x^2 + 1$

1. Уравнение синусоиды и параболы:

• $y = \sin x$ — уравнение синусоиды.
• $y = x^2 + 1$ — уравнение параболы, направленной вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.

2. Вычисление значений для построения графиков:

Подставим несколько значений для построения графиков:

• Для $y = \sin x$:
  • При $x = 0$, $y = \sin(0) = 0$.
  • При $x = 1$, $y = \sin(1) \approx 0.841$.
• Для $y = x^2 + 1$:
  • При $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 2$.
  • При $x = 0$, $y = 0^2 + 1 = 1$.
  • При $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$.

3. Построение графиков:

• График $y = \sin x$ — волнообразная функция.
• График $y = x^2 + 1$ — парабола, направленная вверх.

4. Пересечение графиков:

Решаем уравнение:

$$\sin x = x^2 + 1$$

Графически видно, что функции не пересекаются, так как синусоида колеблется между $-1$ и $1$, а парабола всегда лежит выше этой области.

Ответ: нет корней.