ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение выражения $2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$, если:

а) $x = -\frac{\pi}{2}$;

$2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{2\pi}{4} — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right);$

$2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \frac{3\pi}{4} = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\sqrt{2};$

Ответ: $-\sqrt{2}$.

б) $x = \frac{\pi}{4}$;

$2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2;$

Ответ: $2$.

Необходимо найти значение выражения $2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$ для двух значений $x$.

а) $x = -\frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Подставим значение $x = -\frac{\pi}{2}$ в выражение.

Исходное выражение:

$$2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

При $x = -\frac{\pi}{2}$ подставляем это значение в выражение:

$$2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 2: Упростим аргумент косинуса.

Для упрощения выражения давайте сложим два угла:

$$-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$2 \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right)$$

Шаг 3: Используем симметрию функции косинуса.

Из свойств косинуса известно, что косинус нечётной функции, то есть $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. Следовательно:

$$\cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right)$$

Шаг 4: Находим значение косинуса.

Теперь нам нужно найти значение $\cos \left( \frac{3\pi}{4} \right)$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Поскольку $\frac{3\pi}{4} = \pi — \frac{\pi}{4}$, мы можем использовать тригонометрическое тождество для углов вида $\pi — \theta$:

$$\cos \left( \pi — \theta \right) = — \cos \left( \theta \right)$$

Тогда:

$$\cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) = — \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Значение $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$\cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5: Подставляем это значение в исходное выражение.

Теперь подставляем найденное значение косинуса:

$$2 \cos \left( -\frac{3\pi}{4} \right) = 2 \cdot \left( — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = — \sqrt{2}$$

Ответ для а):

$$-\sqrt{2}$$

б) $x = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Подставим значение $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение.

Исходное выражение:

$$2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

При $x = \frac{\pi}{4}$ подставляем это значение в выражение:

$$2 \cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 2: Упростим аргумент косинуса.

$$\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = 0$$

Тогда выражение примет вид:

$$2 \cos 0$$

Шаг 3: Находим значение косинуса при $0$.

Известно, что:

$$\cos 0 = 1$$

Шаг 4: Подставляем это значение в исходное выражение.

Теперь подставляем найденное значение:

$$2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ для б):

$$2$$

Итоговый ответ:

а) $-\sqrt{2}$

б) $2$