ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x)=x^2\cdot \cos x$;

б) $f(x)=x^5\cdot \cos 3x$;

в) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$;

г) $f(x)=x^{11}\cdot \cos x+\sin x$

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x)=x^2\cdot \cos x$;
$f(-x)=(-x{)}^2\cdot \cos (-x)=x^2\cdot \cos x=f(x)$;
Ответ: четная.

б) $f(x)=x^5\cdot \cos 3x$;
$f(-x)=(-x{)}^5\cdot \cos (-3x)=-x^5\cdot \cos 3x=-f(x)$;
Ответ: нечетная.

в) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$;
$f(-x)=\frac{\cos (-5x)+1}{\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }}=\frac{\cos 5x+1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=f(x)$;
Ответ: четная.

г) $f(x)=x^{11}\cdot \cos x+\sin x$;
$f(-x)=(-x{)}^{11}\cdot \cos (-x)+\sin (-x)=-x^{11}\cdot \cos x-\sin x=-f(x)$;
Ответ: нечетная.

Для того чтобы исследовать функцию на четность, необходимо вычислить $f(-x)$ для каждого случая и сравнить его с $f(x)$. Если $f(-x)=f(x)$, то функция называется четной. Если $f(-x)=-f(x)$, то функция называется нечетной. В случае, если одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

а) $f(x)=x^2\cdot \cos x$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x)=(-x{)}^2\cdot \cos (-x)$$

Шаг 2: Используем свойства степеней и косинуса.

1. $(-x{)}^2=x^2$, так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа.
2. $\cos (-x)=\cos (x)$, так как косинус — четная функция.

Таким образом:

$$f(-x)=x^2\cdot \cos x$$

Шаг 3: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что:

$$f(-x)=f(x)$$

Это означает, что функция четная.

Ответ для а): четная.

б) $f(x)=x^5\cdot \cos 3x$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x)=(-x{)}^5\cdot \cos (3(-x))=-x^5\cdot \cos (-3x)$$

Шаг 2: Используем свойства степеней и косинуса.

1. $(-x{)}^5=-x^5$, так как степень 5 нечётная, и отрицательное число в степени 5 остаётся отрицательным.
2. $\cos (-3x)=\cos (3x)$, так как косинус — четная функция.

Таким образом:

$$f(-x)=-x^5\cdot \cos 3x$$

Шаг 3: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что:

$$f(-x)=-f(x)$$

Это означает, что функция нечетная.

Ответ для б): нечетная.

в) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x)=\frac{\cos (5(-x))+1}{\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }}$$

Шаг 2: Используем свойства косинуса и модуля.

1. $\cos (5(-x))=\cos (-5x)=\cos (5x)$, так как косинус — четная функция.
2. $\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного числа.

Таким образом:

$$f(-x)=\frac{\cos (5x)+1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$$

Шаг 3: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что:

$$f(-x)=f(x)$$

Это означает, что функция четная.

Ответ для в): четная.

г) $f(x)=x^{11}\cdot \cos x+\sin x$

Шаг 1: Подставим $-x$ в функцию $f(x)$.

$$f(-x)=(-x{)}^{11}\cdot \cos (-x)+\sin (-x)$$

Шаг 2: Используем свойства степеней, косинуса и синуса.

1. $(-x{)}^{11}=-x^{11}$, так как степень 11 нечётная, и отрицательное число в степени 11 остаётся отрицательным.
2. $\cos (-x)=\cos (x)$, так как косинус — четная функция.
3. $\sin (-x)=-\sin (x)$, так как синус — нечетная функция.

Таким образом:

$$f(-x)=-x^{11}\cdot \cos x-\sin x$$

Шаг 3: Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.

Мы видим, что:

$$f(-x)=-f(x)$$

Это означает, что функция нечетная.

Ответ для г): нечетная.

Итоговые ответы:

а) четная
б) нечетная
в) четная
г) нечетная