ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выяснить принадлежит ли графику функции $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$:

а) Точка $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$;

$y(0) = -\sin \left( 0 + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{\pi}{6} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = \frac{3}{2};$

Ответ: да.

б) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$;

$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{2\pi}{6} = 2 — \sin \frac{\pi}{3} = 2 — \frac{\sqrt{3}}{2};$

Ответ: да.

в) Точка $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2} \right)$;

$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sin \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \left( \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 — \sin \frac{5\pi}{6} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2};$

Ответ: да.

г) Точка $(4\pi; 2,5)$;

$y(4\pi) = -\sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{\pi}{6} = 2 — \frac{1}{2} = 2 — 0,5 = 1,5;$

Ответ: нет.

Задача состоит в том, чтобы выяснить, принадлежит ли точка графику функции $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$. Для каждой точки необходимо подставить соответствующее значение $x$ в функцию и проверить, равно ли значение функции $y$ соответствующему значению $y$ из точки.

а) Точка $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$

Шаг 1: Подставим $x = 0$ в функцию

Подставляем значение $x = 0$ в функцию $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$:

$$y(0) = -\sin \left( 0 + \frac{\pi}{6} \right) + 2.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим выражение внутри синуса:

$$y(0) = -\sin \frac{\pi}{6} + 2.$$

Шаг 3: Вычислим $\sin \frac{\pi}{6}$

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Подставляем это значение:

$$y(0) = -\frac{1}{2} + 2 = 2 — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$

Шаг 4: Сравниваем с координатами точки

Мы получили:

$$y(0) = \frac{3}{2},$$

что соответствует координате $y$ в точке $\left( 0; \frac{3}{2} \right)$.

Ответ для (а): да, точка принадлежит графику функции.

б) Точка $\left( \frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$

Шаг 1: Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в функцию

Подставляем значение $x = \frac{\pi}{6}$ в функцию $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) + 2.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим выражение внутри синуса:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{2\pi}{6} + 2 = 2 — \sin \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Вычислим $\sin \frac{\pi}{3}$

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставляем это значение:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 — \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 4: Сравниваем с координатами точки

Мы получили:

$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 — \frac{\sqrt{3}}{2},$$

что соответствует координате $y$ в точке $\left( \frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \right)$.

Ответ для (б): да, точка принадлежит графику функции.

в) Точка $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2} \right)$

Шаг 1: Подставим $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию

Подставляем значение $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$:

$$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sin \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) + 2.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим выражение внутри синуса:

$$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sin \left( \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) + 2 = 2 — \sin \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 3: Рассчитаем $\sin \frac{5\pi}{6}$

Известно, что:

$$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Подставляем это значение:

$$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = 2 — \frac{1}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$

Шаг 4: Сравниваем с координатами точки

Мы получили:

$$y \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{3}{2},$$

что соответствует координате $y$ в точке $\left( \frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2} \right)$.

Ответ для (в): да, точка принадлежит графику функции.

г) Точка $(4\pi; 2,5)$

Шаг 1: Подставим $x = 4\pi$ в функцию

Подставляем значение $x = 4\pi$ в функцию $y = -\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2$:

$$y(4\pi) = -\sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{6} \right) + 2.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим выражение внутри синуса:

$$y(4\pi) = 2 — \sin \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 3: Рассчитаем $\sin \frac{\pi}{6}$

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Подставляем это значение:

$$y(4\pi) = 2 — \frac{1}{2} = 2 — 0.5 = 1.5.$$

Шаг 4: Сравниваем с координатами точки

Мы получили:

$$y(4\pi) = 1.5,$$

а в точке $(4\pi; 2,5)$ координата $y$ равна $2,5$.

Поскольку $1.5 \neq 2.5$, точка не принадлежит графику функции.

Ответ для (г): нет, точка не принадлежит графику функции.

Итоговые ответы:

а) Да, точка принадлежит графику функции.

б) Да, точка принадлежит графику функции.

в) Да, точка принадлежит графику функции.

г) Нет, точка не принадлежит графику функции.