ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$;

$$\sin^2(x — 4 \cdot 2\pi) = 1 — \cos^2(-x + 8 \cdot 2\pi);$$ $$\sin^2 x = 1 — \cos^2(-x);$$ $$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x;$$ $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$;

$$\cos^2(x + 2 \cdot 2\pi) = 1 — \sin^2(-x + 11 \cdot 2\pi);$$ $$\cos^2 x = 1 — \sin^2(-x);$$ $$\cos^2 x = 1 — (-\sin x)^2;$$ $$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x;$$ $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а) $\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$

Шаг 1: Упростим левую часть $\sin^2(x — 8\pi)$.

Из свойств синуса известно, что синус имеет период $2\pi$, то есть:

$$\sin(x + 2k\pi) = \sin x \quad \text{для любого целого } k.$$

Это означает, что можно упростить выражение $\sin(x — 8\pi)$ следующим образом:

$$\sin(x — 8\pi) = \sin(x — 4 \cdot 2\pi) = \sin x.$$

Таким образом, левая часть выражения:

$$\sin^2(x — 8\pi) = \sin^2 x.$$

Шаг 2: Упростим правую часть $1 — \cos^2(16\pi — x)$.

Также известно, что косинус имеет период $2\pi$, то есть:

$$\cos(x + 2k\pi) = \cos x \quad \text{для любого целого } k.$$

Здесь мы видим, что $16\pi$ — это кратное $2\pi$, поэтому:

$$\cos(16\pi — x) = \cos(-x).$$

А так как $\cos(-x) = \cos x$ (косинус — четная функция), то:

$$\cos(16\pi — x) = \cos x.$$

Таким образом, правая часть выражения:

$$1 — \cos^2(16\pi — x) = 1 — \cos^2 x.$$

Шаг 3: Сравнение обеих частей.

Теперь у нас есть:

$$\sin^2 x \quad \text{и} \quad 1 — \cos^2 x.$$

Согласно основной тригонометрической тождественности:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Следовательно:

$$1 — \cos^2 x = \sin^2 x.$$

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, мы доказали, что:

$$\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x).$$

Ответ для а): Тождество доказано.

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$

Шаг 1: Упростим левую часть $\cos^2(4\pi + x)$.

Из свойств косинуса известно, что косинус имеет период $2\pi$, то есть:

$$\cos(x + 2k\pi) = \cos x \quad \text{для любого целого } k.$$

Мы можем упростить выражение $\cos(4\pi + x)$, учитывая, что $4\pi$ — это кратное $2\pi$:

$$\cos(4\pi + x) = \cos x.$$

Таким образом, левая часть выражения:

$$\cos^2(4\pi + x) = \cos^2 x.$$

Шаг 2: Упростим правую часть $1 — \sin^2(22\pi — x)$.

Аналогично косинусу, синус также имеет период $2\pi$, то есть:

$$\sin(x + 2k\pi) = \sin x \quad \text{для любого целого } k.$$

Здесь мы видим, что $22\pi$ — это кратное $2\pi$, поэтому:

$$\sin(22\pi — x) = \sin(-x).$$

Поскольку синус — нечетная функция, то $\sin(-x) = -\sin x$, и:

$$\sin(22\pi — x) = -\sin x.$$

Таким образом, правая часть выражения:

$$1 — \sin^2(22\pi — x) = 1 — (-\sin x)^2 = 1 — \sin^2 x.$$

Шаг 3: Сравнение обеих частей.

Теперь у нас есть:

$$\cos^2 x \quad \text{и} \quad 1 — \sin^2 x.$$

Согласно основной тригонометрической тождественности:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Следовательно:

$$1 — \sin^2 x = \cos^2 x.$$

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, мы доказали, что:

$$\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x).$$

Ответ для б): Тождество доказано.