ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Преобразовать числа $\sin t$ и $\cos t$ к виду $\sin t_0$ и $\cos t_0$, где $0 < t_0 < 2\pi$.

а) $\sin 8 = \sin(8 — 2\pi)$;
$2\pi < 8 < 4\pi$;
$0 < 8 — 2\pi < 2\pi$;
Ответ: $\sin(8 — 2\pi)$.

б) $\cos(-10) = \cos(4\pi — 10)$;
$2\pi < 10 < 4\pi$;
$-4\pi < -10 < -2\pi$;
$0 < 4\pi — 10 < 2\pi$;
Ответ: $\cos(4\pi — 10)$.

в) $\sin(-25) = \sin(8\pi — 25)$;
$6\pi < 25 < 8\pi$;
$-8\pi < -25 < -6\pi$;
$0 < 8\pi — 25 < 2\pi$;
Ответ: $\sin(8\pi — 25)$.

г) $\cos 35 = \cos(35 — 10\pi)$;
$10\pi < 35 < 12\pi$;
$0 < 35 — 10\pi < 2\pi$;
Ответ: $\cos(35 — 10\pi)$.

Чтобы преобразовать значения тригонометрических функций в значения на промежутке от $0$ до $2\pi$, нужно использовать периодичность функций синуса и косинуса. Период синуса и косинуса равен $2\pi$, и можно воспользоваться свойством:

$$\sin(x + 2k\pi) = \sin x \quad \text{и} \quad \cos(x + 2k\pi) = \cos x$$

где $k$ — любое целое число. То есть, чтобы привести аргумент к виду $t_0$ на промежутке $0 < t_0 < 2\pi$, нужно вычесть из исходного угла такие значения, которые позволяют попасть в этот промежуток.

Теперь рассмотрим каждое задание по порядку.

а) $\sin 8 = \sin(8 — 2\pi)$

Шаг 1: Определим, в каком интервале находится число 8.

Значение $8$ выражается в радианах. Мы знаем, что:

$$\pi \approx 3.1416 \quad \Rightarrow \quad 2\pi \approx 6.2832.$$

Таким образом:

$$2\pi < 8 < 4\pi \quad \text{(так как \( 4\pi \approx 12.5664 \))}.$$

Это значит, что $8$ находится между $2\pi$ и $4\pi$.

Шаг 2: Приведем $8$ к промежутку $0 < t_0 < 2\pi$.

Мы знаем, что синус имеет период $2\pi$, и можем вычесть $2\pi$ из значения $8$:

$$8 — 2\pi = 8 — 6.2832 \approx 1.7168.$$

Так как $1.7168$ лежит в пределах от $0$ до $2\pi$, то $\sin 8$ и $\sin(8 — 2\pi)$ равны.

Ответ: $\sin 8 = \sin(8 — 2\pi)$.

б) $\cos(-10) = \cos(4\pi — 10)$

Шаг 1: Определим, в каком интервале находится число -10.

Значение $-10$ также в радианах. Мы знаем, что:

$$\pi \approx 3.1416 \quad \Rightarrow \quad 2\pi \approx 6.2832 \quad \Rightarrow \quad 4\pi \approx 12.5664.$$

Мы видим, что:

$$-4\pi < -10 < -2\pi \quad \text{(так как \( -4\pi \approx -12.5664 \) и \( -2\pi \approx -6.2832 \))}.$$

Это означает, что $-10$ находится между $-4\pi$ и $-2\pi$.

Шаг 2: Приведем $-10$ к промежутку $0 < t_0 < 2\pi$.

Чтобы привести угол $-10$ к положительному значению, нужно добавить $4\pi$:

$$4\pi — 10 = 12.5664 — 10 = 2.5664.$$

Значение $2.5664$ лежит в пределах $0 < t_0 < 2\pi$, поэтому $\cos(-10) = \cos(4\pi — 10)$.

Ответ: $\cos(-10) = \cos(4\pi — 10)$.

в) $\sin(-25) = \sin(8\pi — 25)$

Шаг 1: Определим, в каком интервале находится число -25.

Для значения $-25$ рассмотрим аналогичные рассуждения. Мы знаем:

$$\pi \approx 3.1416 \quad \Rightarrow \quad 6\pi \approx 18.8496 \quad \Rightarrow \quad 8\pi \approx 25.1328.$$

Мы видим, что:

$$6\pi < 25 < 8\pi \quad \text{(так как \( 6\pi \approx 18.8496 \) и \( 8\pi \approx 25.1328 \))}.$$

Это означает, что $25$ находится между $6\pi$ и $8\pi$.

Шаг 2: Приведем $-25$ к промежутку $0 < t_0 < 2\pi$.

Чтобы привести $-25$ к положительному углу, добавим $8\pi$:

$$8\pi — 25 = 25.1328 — 25 = 0.1328.$$

Значение $0.1328$ лежит в пределах $0 < t_0 < 2\pi$, поэтому $\sin(-25) = \sin(8\pi — 25)$.

Ответ: $\sin(-25) = \sin(8\pi — 25)$.

г) $\cos 35 = \cos(35 — 10\pi)$

Шаг 1: Определим, в каком интервале находится число 35.

Для значения $35$, используя приближенное значение $\pi \approx 3.1416$, получаем:

$$10\pi \approx 31.4159 \quad \Rightarrow \quad 12\pi \approx 37.6991.$$

Это означает, что:

$$10\pi < 35 < 12\pi \quad \text{(так как \( 10\pi \approx 31.4159 \) и \( 12\pi \approx 37.6991 \))}.$$

Шаг 2: Приведем $35$ к промежутку $0 < t_0 < 2\pi$.

Чтобы привести $35$ к положительному углу в пределах $0 < t_0 < 2\pi$, вычитаем $10\pi$:

$$35 — 10\pi = 35 — 31.4159 = 3.5841.$$

Значение $3.5841$ лежит в пределах $0 < t_0 < 2\pi$, поэтому $\cos 35 = \cos(35 — 10\pi)$.

Ответ: $\cos 35 = \cos(35 — 10\pi)$.

Итоговые ответы:

а) $\sin 8 = \sin(8 — 2\pi)$

б) $\cos(-10) = \cos(4\pi — 10)$

в) $\sin(-25) = \sin(8\pi — 25)$

г) $\cos 35 = \cos(35 — 10\pi)$