ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin(t + 2\pi) + \sin(t — 4\pi) = 1$

б) $3 \cos(2\pi + t) + \cos(t — 2\pi) + 2 = 0$

в) $\sin(t + 4\pi) + \sin(t — 6\pi) = \sqrt{3}$

г) $\cos (t+2\pi )+\cos (t-8\pi )=\sqrt{2}$

а) $\sin(t + 2\pi) + \sin(t — 4\pi) = 1$;
$\sin t + \sin t = 1$;
$2 \sin t = 1$;
$\sin t = \frac{1}{2}$;
Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $3 \cos(2\pi + t) + \cos(t — 2\pi) + 2 = 0$;
$3 \cos t + \cos t = -2$;
$4 \cos t = -2$;
$\cos t = -\frac{1}{2}$;
Ответ: $t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $\sin(t + 4\pi) + \sin(t — 6\pi) = \sqrt{3}$;
$\sin t + \sin t = \sqrt{3}$;
$2 \sin t = \sqrt{3}$;
$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\cos(t + 2\pi) + \cos(t — 8\pi) = \sqrt{2}$;
$\cos t + \cos t = \sqrt{2}$;
$2 \cos t = \sqrt{2}$;
$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

а) $\sin(t + 2\pi) + \sin(t — 4\pi) = 1$

Шаг 1: Используем периодичность синуса.

Синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, поэтому:

$$\sin(t + 2\pi) = \sin t \quad \text{и} \quad \sin(t — 4\pi) = \sin t.$$

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$$\sin t + \sin t = 1.$$

Это упрощается до:

$$2 \sin t = 1.$$

Шаг 2: Решаем для $\sin t$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\sin t = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Находим значения $t$.

Решения уравнения $\sin t = \frac{1}{2}$ находятся на интервалах:

$$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как синус повторяется через $2\pi$.

Ответ для а): $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $3 \cos(2\pi + t) + \cos(t — 2\pi) + 2 = 0$

Шаг 1: Используем периодичность косинуса.

Косинус также является периодической функцией с периодом $2\pi$, и для любых целых чисел $n$ выполняются равенства:

$$\cos(2\pi + t) = \cos t \quad \text{и} \quad \cos(t — 2\pi) = \cos t.$$

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$$3 \cos t + \cos t + 2 = 0.$$

Упростим:

$$4 \cos t + 2 = 0.$$

Шаг 2: Решаем для $\cos t$.

Отнимем 2 от обеих частей уравнения:

$$4 \cos t = -2.$$

Разделим обе части на 4:

$$\cos t = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Находим значения $t$.

Решения уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ находятся на интервалах:

$$t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как косинус повторяется через $2\pi$.

Ответ для б): $t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $\sin(t + 4\pi) + \sin(t — 6\pi) = \sqrt{3}$

Шаг 1: Используем периодичность синуса.

Синус имеет период $2\pi$, поэтому:

$$\sin(t + 4\pi) = \sin t \quad \text{и} \quad \sin(t — 6\pi) = \sin t.$$

Уравнение превращается в:

$$\sin t + \sin t = \sqrt{3}.$$

Упростим:

$$2 \sin t = \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Решаем для $\sin t$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Находим значения $t$.

Решения уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ находятся на интервалах:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как синус повторяется через $2\pi$.

Ответ для в): $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\cos(t + 2\pi) + \cos(t — 8\pi) = \sqrt{2}$

Шаг 1: Используем периодичность косинуса.

Косинус имеет период $2\pi$, поэтому:

$$\cos(t + 2\pi) = \cos t \quad \text{и} \quad \cos(t — 8\pi) = \cos t.$$

Уравнение превращается в:

$$\cos t + \cos t = \sqrt{2}.$$

Упростим:

$$2 \cos t = \sqrt{2}.$$

Шаг 2: Решаем для $\cos t$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 3: Находим значения $t$.

Решения уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ находятся на интервалах:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, так как косинус повторяется через $2\pi$.

Ответ для г): $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

Итоговые ответы:

а) $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

б) $t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.