ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

а) $y = 2 \sin x$;
$-1 \leq \sin x \leq 1$;
$-2 \leq 2 \sin x \leq 2$;
Ответ: $y \in [-2; 2]$.

б) $y = (3 \cos x — 2)^4$;
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$-3 \leq 3 \cos x \leq 3$;
$-5 \leq 3 \cos x — 2 \leq 1$;
$0 \leq (3 \cos x — 2)^4 \leq 625$;
Ответ: $y \in [0; 625]$.

в) $y = -3 \cos x + 2$;
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$-3 \leq -3 \cos x \leq 3$;
$-1 \leq -3 \cos x + 2 \leq 5$;
Ответ: $y \in [-1; 5]$.

г) $y = (1 + 4 \sin x)^2$;
$-1 \leq \sin x \leq 1$;
$-4 \leq 4 \sin x \leq 4$;
$-3 \leq 1 + 4 \sin x \leq 5$;
$0 \leq (1 + 4 \sin x)^2 \leq 25$;
Ответ: $y \in [0; 25]$.

Для нахождения области значений функции нужно проанализировать, какие значения она может принимать на заданном промежутке. Это подразумевает использование известных свойств тригонометрических функций, таких как периодичность, ограничения на синус и косинус, а также вычисления, связанные с коэффициентами, которые изменяют эти функции.

а) $y = 2 \sin x$

Шаг 1: Определим область значений для $\sin x$.

Значения функции $\sin x$ ограничены интервалом:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Это означает, что $\sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$, включая эти границы.

Шаг 2: Умножение на 2.

Теперь рассмотрим функцию $y = 2 \sin x$. Умножив все возможные значения $\sin x$ на 2, получаем:

$$-2 \leq 2 \sin x \leq 2.$$

Шаг 3: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = 2 \sin x$ — это интервал от $-2$ до $2$.

Ответ: $y \in [-2; 2]$.

б) $y = (3 \cos x — 2)^4$

Шаг 1: Определим область значений для $\cos x$.

Значения функции $\cos x$ ограничены интервалом:

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Это означает, что $\cos x$ принимает значения от $-1$ до $1$, включая эти границы.

Шаг 2: Умножение на 3 и вычитание 2.

Теперь рассмотрим выражение $3 \cos x — 2$. Сначала умножим $\cos x$ на 3:

$$-3 \leq 3 \cos x \leq 3.$$

Затем вычитаем 2 из всех значений:

$$-3 — 2 \leq 3 \cos x — 2 \leq 3 — 2,$$

что даёт:

$$-5 \leq 3 \cos x — 2 \leq 1.$$

Шаг 3: Возведение в четвёртую степень.

Теперь рассмотрим выражение $(3 \cos x — 2)^4$. Поскольку $(3 \cos x — 2)$ принимает значения от $-5$ до $1$, возведем эти значения в четвёртую степень:

$$0 \leq (3 \cos x — 2)^4 \leq 625.$$

Возведение отрицательного числа в четвёртую степень даёт положительное значение, а максимальное значение $1^4 = 1$, минимальное $(-5)^4 = 625$.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = (3 \cos x — 2)^4$ — это интервал от 0 до 625.

Ответ: $y \in [0; 625]$.

в) $y = -3 \cos x + 2$

Шаг 1: Определим область значений для $\cos x$.

Значения функции $\cos x$ ограничены интервалом:

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Шаг 2: Умножение на -3 и прибавление 2.

Теперь рассмотрим выражение $-3 \cos x + 2$. Сначала умножим $\cos x$ на $-3$:

$$-3 \leq -3 \cos x \leq 3.$$

Затем прибавим 2 ко всем значениям:

$$-3 + 2 \leq -3 \cos x + 2 \leq 3 + 2,$$

что даёт:

$$-1 \leq -3 \cos x + 2 \leq 5.$$

Шаг 3: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = -3 \cos x + 2$ — это интервал от $-1$ до $5$.

Ответ: $y \in [-1; 5]$.

г) $y = (1 + 4 \sin x)^2$

Шаг 1: Определим область значений для $\sin x$.

Значения функции $\sin x$ ограничены интервалом:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Шаг 2: Умножение на 4 и прибавление 1.

Теперь рассмотрим выражение $1 + 4 \sin x$. Сначала умножим $\sin x$ на 4:

$$-4 \leq 4 \sin x \leq 4.$$

Затем прибавим 1 ко всем значениям:

$$-4 + 1 \leq 1 + 4 \sin x \leq 4 + 1,$$

что даёт:

$$-3 \leq 1 + 4 \sin x \leq 5.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат.

Теперь рассмотрим выражение $(1 + 4 \sin x)^2$. Поскольку $1 + 4 \sin x$ принимает значения от $-3$ до $5$, возведем эти значения в квадрат:

$$0 \leq (1 + 4 \sin x)^2 \leq 25.$$

Так как квадрат любого числа всегда положителен, минимальное значение будет равно 0 (при $1 + 4 \sin x = 0$), а максимальное значение будет равно $5^2 = 25$.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = (1 + 4 \sin x)^2$ — это интервал от 0 до 25.

Ответ: $y \in [0; 25]$.

Итоговые ответы:

а) $y \in [-2; 2]$
б) $y \in [0; 625]$
в) $y \in [-1; 5]$
г) $y \in [0; 25]$