ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область значений функции:

а) $y = \frac{1}{\sin x + 2}$;

$-1 \leq \sin x \leq 1$;

$1 \leq \sin x + 2 \leq 3$;

$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sin x + 2} \leq 1$;

Ответ: $y \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$.

б) $y = \frac{8}{3 \cos x — 5}$;

$-1 \leq \cos x \leq 1$;

$-3 \leq 3 \cos x \leq 3$;

$-8 \leq 3 \cos x — 5 \leq -2$;

$-4 \leq \frac{8}{3 \cos x — 5} \leq -1$;

Ответ: $y \in [-4; -1]$.

в) $y = \frac{2}{\sin x — 3}$;

$-1 \leq \sin x \leq 1$;

$-4 \leq \sin x — 3 \leq -2$;

$-1 \leq \frac{2}{\sin x — 3} \leq -\frac{1}{2}$;

Ответ: $y \in \left[-1; -\frac{1}{2}\right]$.

г) $y = \frac{15}{4 + \cos x}$;

$-1 \leq \cos x \leq 1$;

$3 \leq 4 + \cos x \leq 5$;

$3 \leq \frac{15}{4 + \cos x} \leq 5$;

Ответ: $y \in [3; 5]$.

Для нахождения области значений функции важно учитывать её вид и свойства использованных тригонометрических функций. В данном случае речь идет о функциях, которые зависят от синуса и косинуса, и мы будем использовать их диапазоны для нахождения области значений. Чтобы получить область значений для дробных выражений, мы сначала анализируем область значений для числителя и знаменателя, а затем находим соответствующие значения для всей функции.

а) $y = \frac{1}{\sin x + 2}$

Шаг 1: Определим область значений для $\sin x$.

Значение синуса на любом промежутке ограничено интервалом:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Это означает, что $\sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$, включая эти границы.

Шаг 2: Преобразуем $\sin x + 2$.

Теперь добавим 2 ко всем значениям $\sin x$:

$$-1 + 2 \leq \sin x + 2 \leq 1 + 2,$$

что даёт:

$$1 \leq \sin x + 2 \leq 3.$$

Это означает, что $\sin x + 2$ принимает значения от 1 до 3.

Шаг 3: Преобразуем выражение $\frac{1}{\sin x + 2}$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\sin x + 2}$. Поскольку $\sin x + 2$ лежит в интервале от 1 до 3, нам нужно найти, как изменится дробь при этих значениях.

Для $\sin x + 2 = 1$:

$$y = \frac{1}{1} = 1.$$

Для $\sin x + 2 = 3$:

$$y = \frac{1}{3}.$$

Поскольку функция $\frac{1}{x}$ убывает при положительных $x$, то наименьшее значение $y$ будет при $\sin x + 2 = 1$, а наибольшее — при $\sin x + 2 = 3$.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = \frac{1}{\sin x + 2}$ — это интервал:

$$y \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right].$$

Ответ для а): $y \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$.

б) $y = \frac{8}{3 \cos x — 5}$

Шаг 1: Определим область значений для $\cos x$.

Косинус также ограничен интервалом:

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Это означает, что $\cos x$ принимает значения от $-1$ до $1$, включая эти границы.

Шаг 2: Преобразуем $3 \cos x — 5$.

Умножим значение $\cos x$ на 3:

$$3 \cdot (-1) \leq 3 \cos x \leq 3 \cdot 1,$$

что даёт:

$$-3 \leq 3 \cos x \leq 3.$$

Теперь вычитаем 5 из каждого значения:

$$-3 — 5 \leq 3 \cos x — 5 \leq 3 — 5,$$

что даёт:

$$-8 \leq 3 \cos x — 5 \leq -2.$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\frac{8}{3 \cos x — 5}$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \frac{8}{3 \cos x — 5}$. Поскольку $3 \cos x — 5$ принимает значения от $-8$ до $-2$, нам нужно найти, как изменится дробь при этих значениях.

Для $3 \cos x — 5 = -8$:

$$y = \frac{8}{-8} = -1.$$

Для $3 \cos x — 5 = -2$:

$$y = \frac{8}{-2} = -4.$$

Поскольку функция $\frac{8}{x}$ убывает при отрицательных $x$, наибольшее значение $y$ будет при $3 \cos x — 5 = -2$, а наименьшее — при $3 \cos x — 5 = -8$.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = \frac{8}{3 \cos x — 5}$ — это интервал:

$$y \in [-4; -1].$$

Ответ для б): $y \in [-4; -1]$.

в) $y = \frac{2}{\sin x — 3}$

Шаг 1: Определим область значений для $\sin x$.

Как и прежде, синус ограничен интервалом:

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Шаг 2: Преобразуем $\sin x — 3$.

Теперь вычитаем 3 из каждого значения $\sin x$:

$$-1 — 3 \leq \sin x — 3 \leq 1 — 3,$$

что даёт:

$$-4 \leq \sin x — 3 \leq -2.$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\frac{2}{\sin x — 3}$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \frac{2}{\sin x — 3}$. Поскольку $\sin x — 3$ принимает значения от $-4$ до $-2$, нам нужно найти, как изменится дробь при этих значениях.

Для $\sin x — 3 = -4$:

$$y = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}.$$

Для $\sin x — 3 = -2$:

$$y = \frac{2}{-2} = -1.$$

Поскольку функция $\frac{2}{x}$ убывает при отрицательных $x$, наибольшее значение $y$ будет при $\sin x — 3 = -2$, а наименьшее — при $\sin x — 3 = -4$.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = \frac{2}{\sin x — 3}$ — это интервал:

$$y \in \left[-1; -\frac{1}{2}\right].$$

Ответ для в): $y \in \left[-1; -\frac{1}{2}\right]$.

г) $y = \frac{15}{4 + \cos x}$

Шаг 1: Определим область значений для $\cos x$.

Как и ранее, косинус ограничен интервалом:

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Шаг 2: Преобразуем $4 + \cos x$.

Теперь прибавим 4 ко всем значениям $\cos x$:

$$4 + (-1) \leq 4 + \cos x \leq 4 + 1,$$

что даёт:

$$3 \leq 4 + \cos x \leq 5.$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\frac{15}{4 + \cos x}$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \frac{15}{4 + \cos x}$. Поскольку $4 + \cos x$ принимает значения от 3 до 5, нам нужно найти, как изменится дробь при этих значениях.

Для $4 + \cos x = 3$:

$$y = \frac{15}{3} = 5.$$

Для $4 + \cos x = 5$:

$$y = \frac{15}{5} = 3.$$

Поскольку функция $\frac{15}{x}$ убывает при положительных $x$, наибольшее значение $y$ будет при $4 + \cos x = 3$, а наименьшее — при $4 + \cos x = 5$.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, область значений функции $y = \frac{15}{4 + \cos x}$ — это интервал:

$$y \in [3; 5].$$

Ответ для г): $y \in [3; 5]$.

Итоговые ответы:

а) $y \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$
б) $y \in [-4; -1]$
в) $y \in \left[-1; -\frac{1}{2}\right]$
г) $y \in [3; 5]$