ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x)=-\frac{1}{2}\cos x$. Найдите:

а) $f(-x)$

б) $2f(x)$

в) $f(x+2\pi )$

г) $f(-x)-f(x)$

Известно, что $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$, найти:

а) $f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(-x) = -\frac{1}{2} \cos x$;
Ответ: $-\frac{1}{2} \cos x$.

б) $2f(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos x \right) = -\cos x$;
Ответ: $-\cos x$.

в) $f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos x$;
Ответ: $-\frac{1}{2} \cos x$.

г) $f(-x) — f(x) = -\frac{1}{2} \cos(-x) — \left( -\frac{1}{2} \cos x \right) = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x = 0$;
Ответ: $0$.

Функция $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$.

а) Найдем $f(-x)$.

Подставляем $-x$ вместо $x$ в исходную функцию:

$$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(-x).$$

Используем свойство косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$, так как косинус — четная функция. То есть:

$$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos(x).$$

Таким образом, результат:

$$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos x.$$

Ответ: $-\frac{1}{2} \cos x$.

б) Найдем $2f(x)$.

Подставляем выражение для $f(x)$:

$$2f(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos x \right).$$

Умножаем константу $2$ на выражение внутри скобок:

$$2f(x) = -\cos x.$$

Ответ: $-\cos x$.

в) Найдем $f(x + 2\pi)$.

Подставляем $x + 2\pi$ вместо $x$ в исходную функцию:

$$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos(x + 2\pi).$$

Используем свойство косинуса: $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, так как косинус имеет период $2\pi$, то есть:

$$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos x.$$

Ответ: $-\frac{1}{2} \cos x$.

г) Найдем $f(-x) — f(x)$.

Мы уже нашли, что $f(-x) = -\frac{1}{2} \cos x$ и $f(x) = -\frac{1}{2} \cos x$.

Теперь вычитаем $f(x)$ из $f(-x)$:

$$f(-x) — f(x) = \left( -\frac{1}{2} \cos x \right) — \left( -\frac{1}{2} \cos x \right).$$

Упрощаем выражение:

$$f(-x) — f(x) = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x.$$

Суммируем одинаковые термины:

$$f(-x) — f(x) = 0.$$

Ответ: $0$.

Итог:

$f(-x) = -\frac{1}{2} \cos x$.

$2f(x) = -\cos x$.

$f(x + 2\pi) = -\frac{1}{2} \cos x$.

$f(-x) — f(x) = 0$.