ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha каких промежутках функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

а) возрастает;

б) убывает?

На каких промежутках функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

а) Возрастает;

Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке:
$\pi \leq x \leq 2\pi;$
$\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi + 2\pi n;$

Значит данная функция возрастает на отрезке:
$\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n;$

б) Убывает;

Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке:
$0 \leq x \leq \pi;$
$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$

Значит данная функция убывает на отрезке:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$

Для того чтобы подробно рассмотреть, на каких промежутках функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ возрастает и убывает, необходимо понять, как влияет сдвиг на график функции $y = \cos x$, и затем определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает.

Шаг 1. Анализ функции $y = \cos x$

Функция $y = \cos x$ является периодической, с периодом $2\pi$, то есть она повторяется через $2\pi$.

• Функция $y = \cos x$ возрастает на интервале $[\pi, 2\pi]$ и на каждом следующем интервале, равном $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n$ — целое число.
• Функция $y = \cos x$ убывает на интервале $[0, \pi]$ и на каждом следующем интервале, равном $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$.

Шаг 2. Преобразование функции $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Теперь рассмотрим функцию $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$. Сдвиг $\frac{\pi}{6}$ вправо на графике функции $y = \cos x$ изменяет интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Шаг 3. Определение промежутков, на которых функция возрастает

Функция $y = \cos x$ возрастает на интервале $\pi \leq x \leq 2\pi$ и на интервале $\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi + 2\pi n$.

Когда сдвигаем аргумент функции $x$ на $\frac{\pi}{6}$, мы должны сдвигать соответствующие интервалы возрастания.

• На интервале $\pi \leq x \leq 2\pi$, после сдвига $x$ на $\frac{\pi}{6}$, получаем:

$$\pi — \frac{\pi}{6} \leq x \leq 2\pi — \frac{\pi}{6},$$

что упрощается до:

$$\frac{5\pi}{6} \leq x \leq \frac{11\pi}{6}.$$

• Аналогично для следующего интервала $\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi + 2\pi n$, после сдвига получаем:

$$\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n,$$

что упрощается до:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

Таким образом, функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ возрастает на отрезках:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 4. Определение промежутков, на которых функция убывает

Функция $y = \cos x$ убывает на интервале $0 \leq x \leq \pi$ и на интервале $2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n$.

• На интервале $0 \leq x \leq \pi$, после сдвига $x$ на $\frac{\pi}{6}$, получаем:

$$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi — \frac{\pi}{6},$$

что упрощается до:

$$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6}.$$

• Аналогично для следующего интервала $2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n$, после сдвига получаем:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n,$$

что упрощается до:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Таким образом, функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ убывает на отрезках:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

1. Функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ возрастает на отрезках:

   $$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

2. Функция $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ убывает на отрезках:

   $$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$