ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}$;
$f(-x) = (-x)^5 \cdot \sin \left( -\frac{x}{2} \right) = -x^5 \cdot \left( -\sin \frac{x}{2} \right) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2} = f(x)$;
Ответ: четная.

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin x^2$;
$f(-x) = (-x)^3 \cdot \sin (-x)^2 = -x^3 \cdot \sin x^2 = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

в) $f(x) = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;
$f(-x) = \frac{2 \cdot \sin \left( -\frac{x}{2} \right)}{(-x)^3} = \frac{-2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{-x^3} = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3} = f(x)$;
Ответ: четная.

г) $f(x) = x^3 — \sin x$;
$f(-x) = (-x)^3 — \sin (-x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 — \sin x) = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

а) $f(x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}$

Шаг 1: Вычислим $f(-x)$

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f(-x) = (-x)^5 \cdot \sin \left( \frac{-x}{2} \right).$$

Так как $(-x)^5 = -x^5$ и $\sin \left( -\frac{x}{2} \right) = -\sin \frac{x}{2}$ (свойство синуса: $\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$$f(-x) = -x^5 \cdot (-\sin \frac{x}{2}) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2}.$$

Шаг 2: Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = x^5 \cdot \sin \frac{x}{2} = f(x).$$

Ответ для (а): функция $f(x)$ четная.

б) $f(x) = x^3 \cdot \sin x^2$

Шаг 1: Вычислим $f(-x)$

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f(-x) = (-x)^3 \cdot \sin \left( (-x)^2 \right).$$

Так как $(-x)^3 = -x^3$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$$f(-x) = -x^3 \cdot \sin x^2.$$

Шаг 2: Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = -x^3 \cdot \sin x^2 = -f(x).$$

Ответ для (б): функция $f(x)$ нечетная.

в) $f(x) = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3}$

Шаг 1: Вычислим $f(-x)$

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f(-x) = \frac{2 \cdot \sin \frac{-x}{2}}{(-x)^3}.$$

С учетом того, что $\sin \left( -\frac{x}{2} \right) = -\sin \frac{x}{2}$ (свойство синуса) и $(-x)^3 = -x^3$, получаем:

$$f(-x) = \frac{2 \cdot (-\sin \frac{x}{2})}{-x^3} = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3}.$$

Шаг 2: Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = \frac{2 \cdot \sin \frac{x}{2}}{x^3} = f(x).$$

Ответ для (в): функция $f(x)$ четная.

г) $f(x) = x^3 — \sin x$

Шаг 1: Вычислим $f(-x)$

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции $f(x)$:

$$f(-x) = (-x)^3 — \sin(-x).$$

Так как $(-x)^3 = -x^3$ и $\sin(-x) = -\sin x$ (свойство синуса), получаем:

$$f(-x) = -x^3 + (-\sin x) = -(x^3 — \sin x).$$

Шаг 2: Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = -(x^3 — \sin x) = -f(x).$$

Ответ для (г): функция $f(x)$ нечетная.

Итоговые ответы:

а) $f(x)$ — четная.

б) $f(x)$ — нечетная.

в) $f(x)$ — четная.

г) $f(x)$ — нечетная.