ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x = \left| \frac{3x}{2\pi} — \frac{3}{4} \right|;$

б) $\cos x+\mid \frac{3x}{5\pi }-\frac{3}{10}\mid =0,x\ge 0$$$$$

а) $\sin x = \left| \frac{3x}{2\pi} — \frac{3}{4} \right|;$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды;

$y = \left| \frac{3x}{2\pi} — \frac{3}{4} \right|$ — уравнение модуля:

$$\frac{3x_0}{2\pi} — \frac{3}{4} = 0;$$ $$\frac{3x_0}{2\pi} = \frac{3}{4};$$ $$x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{c|ccc} x & -\frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{2} & \frac{7\pi}{6} \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{6}; \, x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

б) $\cos x + \left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right| = 0, \, x \geq 0;$

Преобразуем уравнение:

$$\cos x = -\left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right|, \, x \geq 0;$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды;

$y = -\left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right|$ — уравнение модуля:

$$\frac{3x_0}{5\pi} — \frac{3}{10} = 0;$$ $$\frac{3x_0}{5\pi} = \frac{3}{10};$$ $$x_0 = \frac{\pi}{2}, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \frac{\pi}{2} & 3\pi \\ \hline y & -0,3 & 0 & -1,5 \\ \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{2}; \, x_2 = \frac{4\pi}{3}$.

а) $\sin x = \left| \frac{3x}{2\pi} — \frac{3}{4} \right|$

1) Уравнение синусоиды $y = \sin x$

Функция $y = \sin x$ — это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, с максимумом в точке $x = \frac{\pi}{2}$, минимумом в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ и пересечением с осью $x$ в точках $x = 0, \pi, 2\pi$, и так далее.

2) Уравнение модуля $y = \left| \frac{3x}{2\pi} — \frac{3}{4} \right|$

Это уравнение можно трактовать как функцию модуля. Чтобы понять, как она ведет себя, определим, при каком значении выражение внутри модуля будет равно нулю:

$$\frac{3x_0}{2\pi} — \frac{3}{4} = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{3x_0}{2\pi} = \frac{3}{4}$$

Умножим обе части на $2\pi$:

$$3x_0 = \frac{3}{4} \times 2\pi = \frac{3\pi}{2}$$

Разделим обе части на 3:

$$x_0 = \frac{\pi}{2}$$

Когда $x = x_0 = \frac{\pi}{2}$, выражение внутри модуля равно нулю, то есть $y = 0$. Это точка пересечения с осью абсцисс.

3) Строим таблицу значений функции

Мы построим таблицу значений для функции модуля, чтобы увидеть, как ведет себя график на некоторых промежутках:

$$\begin{array}{c|ccc} x & -\frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{2} & \frac{7\pi}{6} \\ \hline y & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

Для $x = -\frac{\pi}{6}$:

$$y = \left| \frac{3(-\frac{\pi}{6})}{2\pi} — \frac{3}{4} \right| = \left| -\frac{1}{4} — \frac{3}{4} \right| = 1$$

Для $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y = \left| \frac{3(\frac{\pi}{2})}{2\pi} — \frac{3}{4} \right| = \left| \frac{3}{4} — \frac{3}{4} \right| = 0$$

Для $x = \frac{7\pi}{6}$:

$$y = \left| \frac{3(\frac{7\pi}{6})}{2\pi} — \frac{3}{4} \right| = \left| \frac{7}{4} — \frac{3}{4} \right| = 1$$

4) График функций

График функции $y = \sin x$ будет пересекаться с графиком $y = \left| \frac{3x}{2\pi} — \frac{3}{4} \right|$ в точках, где значения обеих функций равны.

• $\sin x$ равен 0 в точке $x = \frac{\pi}{2}$, и в этой точке график модуля также пересекает ось $x$.
• Мы видим, что пересечение происходит в точках $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$, так как для этих значений синус и модуль будут равны.

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{6}, \, x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

б) $\cos x + \left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right| = 0, \, x \geq 0$

1) Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

$$\cos x + \left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right| = 0$$

Преобразуем его:

$$\cos x = -\left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right|$$

Теперь рассмотрим, как себя ведет каждая из частей:

• $\cos x$ — стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, с максимумом в точке $x = 0$, минимумом в точке $x = \pi$.
• $\left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right|$ — это функция модуля, которая будет равна нулю, когда:

$$\frac{3x_0}{5\pi} — \frac{3}{10} = 0$$

Решаем это уравнение:

$$\frac{3x_0}{5\pi} = \frac{3}{10}$$

Умножаем обе части на $5\pi$:

$$3x_0 = \frac{3}{10} \times 5\pi = \frac{3\pi}{2}$$

Делим обе части на 3:

$$x_0 = \frac{\pi}{2}$$

Таким образом, точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$ — это точка пересечения с осью $x$, где выражение внутри модуля равно нулю, и функция меняет знак.

2) Строим таблицу значений функции

Рассмотрим несколько значений для функции:

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \frac{\pi}{2} & 3\pi \\ \hline y & -0,3 & 0 & -1,5 \\ \end{array}$$

Для $x = 0$:

$$y = \cos(0) + \left| \frac{3(0)}{5\pi} — \frac{3}{10} \right| = 1 + \left| -\frac{3}{10} \right| = 1 + 0.3 = 1.3$$

Для $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left| \frac{3(\frac{\pi}{2})}{5\pi} — \frac{3}{10} \right| = 0 + \left| \frac{3}{10} — \frac{3}{10} \right| = 0$$

Для $x = 3\pi$:

$$y = \cos(3\pi) + \left| \frac{3(3\pi)}{5\pi} — \frac{3}{10} \right| = -1 + \left| \frac{9}{5} — \frac{3}{10} \right| = -1 + 1.5 = 0.5$$

3) График функций

График $y = \cos x$ будет пересекаться с графиком $y = -\left| \frac{3x}{5\pi} — \frac{3}{10} \right|$ в точках, где значения обеих функций равны. Мы видим, что:

• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ графики пересекаются, так как $\cos x = 0$ и модуль также равен нулю.
• Второе пересечение происходит в точке $x_2 = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{2}, \, x_2 = \frac{4\pi}{3}$.

Итоговый ответ:

а) $x_1 = \frac{\pi}{6}, \, x_2 = \frac{5\pi}{6}$

б) $x_1 = \frac{\pi}{2}, \, x_2 = \frac{4\pi}{3}$