ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследовать функцию на четность:

а) $f(x) = x + \sin x$;
$f(-x) = -x + \sin(-x) = -x — \sin x = -(x + \sin x) = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1}$;
$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{(-\sin x)^2}{x^2 — 1} = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1} = f(x)$;
Ответ: четная.

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9}$;
$f(-x) = \frac{(-x)^2 \cdot \sin(-x)}{(-x)^2 — 9} = \frac{x^2 \cdot (-\sin x)}{x^2 — 9} = -\frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9} = -f(x)$;
Ответ: нечетная.

г) $f(x) = \sin^2 x — x^4$;
$f(-x) = \sin^2(-x) — (-x)^4 = (-\sin x)^2 — x^4 = \sin^2 x — x^4 = f(x)$;
Ответ: четная.

Для того чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, необходимо вычислить значение функции $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$.

1. Если $f(-x) = f(x)$, то функция четная.
2. Если $f(-x) = -f(x)$, то функция нечетная.
3. Если ни одно из условий не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Теперь рассмотрим каждую задачу по очереди.

а) $f(x) = x + \sin x$

Шаг 1: Подставим $-x$ вместо $x$ в функцию

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = -x + \sin(-x).$$

Шаг 2: Упростим выражение

Известно, что $\sin(-x) = -\sin(x)$ (свойство синуса), следовательно:

$$f(-x) = -x — \sin x.$$

Шаг 3: Сравним с $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = -x — \sin x = -(x + \sin x) = -f(x).$$

Ответ для (а): функция $f(x)$ нечетная, так как $f(-x) = -f(x)$.

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1}$

Шаг 1: Подставим $-x$ вместо $x$ в функцию

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 — 1}.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Мы знаем, что $\sin(-x) = -\sin(x)$ и $(-x)^2 = x^2$, следовательно:

$$f(-x) = \frac{(-\sin x)^2}{x^2 — 1} = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1}.$$

Шаг 3: Сравним с $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 — 1} = f(x).$$

Ответ для (б): функция $f(x)$ четная, так как $f(-x) = f(x)$.

в) $f(x) = \frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9}$

Шаг 1: Подставим $-x$ вместо $x$ в функцию

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{(-x)^2 \cdot \sin(-x)}{(-x)^2 — 9}.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Мы знаем, что $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, следовательно:

$$f(-x) = \frac{x^2 \cdot (-\sin x)}{x^2 — 9} = -\frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9}.$$

Шаг 3: Сравним с $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = -\frac{x^2 \cdot \sin x}{x^2 — 9} = -f(x).$$

Ответ для (в): функция $f(x)$ нечетная, так как $f(-x) = -f(x)$.

г) $f(x) = \sin^2 x — x^4$

Шаг 1: Подставим $-x$ вместо $x$ в функцию

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \sin^2(-x) — (-x)^4.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Мы знаем, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, но так как выражение возводится в квадрат, то:

$$\sin^2(-x) = \sin^2(x),$$

а также $(-x)^4 = x^4$, следовательно:

$$f(-x) = \sin^2(x) — x^4.$$

Шаг 3: Сравним с $f(x)$

Мы видим, что:

$$f(-x) = \sin^2(x) — x^4 = f(x).$$

Ответ для (г): функция $f(x)$ четная, так как $f(-x) = f(x)$.

Итоговые ответы:

а) функция $f(x)$ нечетная.

б) функция $f(x)$ четная.

в) функция $f(x)$ нечетная.

г) функция $f(x)$ четная.