ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В данной задаче $n$ — целое неотрицательное число;

а) $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \leq \frac{\pi}{2}; \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды:
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды:
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$

Графики функции:

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty);$
• Множество значений: $E(f) = [-1; 1];$
• Возрастает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n] \cup \left[\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right];$
• Убывает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right];$
• $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup (2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n);$
• $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup (\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n);$
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической

б) $y = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0; \\ 2x^2 — 1, & \text{если } x \geq 0 \end{cases}$

$y = -\cos x$ — уравнение синусоиды:
$y(0) = -\cos 0 = -1;$

$y = 2x^2 — 1$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0, \quad y_0 = -1;$

Графики функции:

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty);$
• Множество значений: $E(f) = [-1; +\infty);$
• Возрастает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup [0; +\infty);$
• Убывает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n];$
• $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty\right);$
• $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{5\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right);$
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической

а) Функция:

$$y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \leq \frac{\pi}{2}; \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2}. \end{cases}$$

1. Обработка каждого из случаев функции

1) $y = \cos x$ — уравнение синусоиды для $x \leq \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0.$$

Здесь мы видим, что при $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции равно нулю.

2) $y = \sin x$ — уравнение синусоиды для $x > \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

При $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции равно единице, поскольку для синуса это стандартное значение.

2. Графики функции

3. Свойства функции

• Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$: функция определена для всех $x$, так как и $\cos x$, и $\sin x$ определены на всей числовой прямой.
• Множество значений $E(f) = [-1; 1]$: значения как $\cos x$, так и $\sin x$ ограничены интервалом от -1 до 1.
• Возрастает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n] \cup \left[\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right]$: для косинуса функция возрастает в интервалах, когда $x$ лежит в пределах этих промежутков.
• Убывает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right]$: на этих интервалах функция $y = \cos x$ убывает.
• Функция $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \cup (2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n)$: функция положительна на этих интервалах.
• Функция $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup (\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n)$: функция отрицательна на этих интервалах.
• Четность: функция ни четная, ни нечетная, так как она меняет свою форму на $x = \frac{\pi}{2}$.
• Периодичность: функция не является периодической, так как она не повторяется на всех значениях $x$.

б) Функция:

$$y = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0; \\ 2x^2 — 1, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$$

1. Обработка каждого из случаев функции

1) $y = -\cos x$ — уравнение синусоиды для $x < 0$:

$$y(0) = -\cos 0 = -1.$$

Когда $x$ стремится к нулю с отрицательной стороны, значение функции равно -1.

2) $y = 2x^2 — 1$ — уравнение параболы для $x \geq 0$:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = -1.$$

Для $x = 0$ парабола также проходит через точку $y = -1$.

2. Графики функции

3. Свойства функции

• Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$: функция определена для всех $x$, так как и $-\cos x$, и $2x^2 — 1$ имеют область определения на всей числовой прямой.
• Множество значений $E(f) = [-1; +\infty)$: минимальное значение функции равно -1, а максимальные значения стремятся к бесконечности при $x \geq 0$.
• Возрастает на $[-2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n] \cup [0; +\infty)$: для части, где функция является параболой, она возрастает для всех $x \geq 0$, а для синусоиды — на определенных промежутках.
• Убывает на $[-\pi — 2\pi n; -2\pi n]$: на интервале до нуля синусоида убывает.
• Функция $f(x) > 0$ на $\left(-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty\right)$: на этих интервалах функция принимает положительные значения.
• Функция $f(x) < 0$ на $\left(-\frac{5\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$: на этих интервалах функция принимает отрицательные значения.
• Четность: функция ни четная, ни нечетная, так как на положительной и отрицательной части прямой функция имеет разные формы.
• Периодичность: функция не является периодической, поскольку она включает параболическую часть, которая не повторяется.