ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$;

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$;

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$;

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$;

На интервалах $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$:

$$\sin x > 0;$$ $$y = \frac{|\sin x|}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} = 1;$$

На интервалах $(- \pi + 2\pi n; 2\pi n)$:

$$\sin x < 0;$$ $$y = \frac{|\sin x|}{\sin x} = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x_1 \neq 2\pi n;$$ $$x_2 \neq \pi + 2\pi n;$$

Графики функций:

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$;

На интервалах $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$:

$$\cos x > 0;$$ $$y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x| = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x;$$

На интервалах $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$:

$$\cos x < 0;$$ $$y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x| = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Графики функций:

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$;

На интервалах $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$:

$$\cos x > 0;$$ $$y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|} = \frac{2 \cos x}{\cos x} = 2;$$

На интервалах $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$:

$$\cos x < 0;$$ $$y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|} = \frac{2 \cos x}{-\cos x} = -2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Графики функций:

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$;

На интервалах $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$:

$$\sin x > 0;$$ $$y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x| = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x;$$

На интервалах $(- \pi + 2\pi n; 2\pi n)$:

$$\sin x < 0;$$ $$y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x| = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x_1 \neq 2\pi n;$$ $$x_2 \neq \pi + 2\pi n;$$

Графики функций:

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$;

1) Разбор функции на интервалах:

Данная функция определяется как отношение модуля синуса на сам синус. Чтобы понять, как функция ведет себя, нужно рассматривать её на разных интервалах.

• На интервалах $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале синус всегда положителен. То есть $\sin x > 0$. Следовательно, модуль $|\sin x|$ совпадает с самим синусом. Таким образом, функция $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$ будет равна:

  $$y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$ функция всегда будет равна 1.

• На интервалах $(- \pi + 2\pi n; 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале синус всегда отрицателен, то есть $\sin x < 0$. Следовательно, модуль $|\sin x|$ будет равен $-\sin x$. Таким образом, функция $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$ будет равна:

  $$y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $(- \pi + 2\pi n; 2\pi n)$ функция всегда будет равна -1.

2) Условия существования выражения:

Для выражения $\frac{|\sin x|}{\sin x}$ важно, чтобы синус не был равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Синус равен нулю на точках $x = 2\pi n$ и $x = \pi + 2\pi n$. Таким образом, выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x_1 \neq 2\pi n;$$ $$x_2 \neq \pi + 2\pi n.$$

3) График функции:

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$;

1) Разбор функции на интервалах:

Здесь рассматриваем произведение тангенса на модуль косинуса. Нужно понять, как эта функция себя ведет на разных интервалах.

• На интервалах $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале косинус положителен ($\cos x > 0$). Таким образом, модуль косинуса равен самому косинусу. Функция будет равна:

  $$y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x| = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$ функция будет равна $\sin x$.

• На интервалах $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале косинус отрицателен ($\cos x < 0$). Следовательно, модуль косинуса будет равен $-\cos x$, и функция будет равна:

  $$y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x| = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$ функция будет равна $-\sin x$.

2) Условия существования выражения:

Для выражения $\operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$ важно, чтобы косинус не был равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Косинус равен нулю на точках $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Таким образом, выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

3) График функции:

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$;

1) Разбор функции на интервалах:

Здесь рассматриван модификация функции косинуса. Нужно учитывать поведение функции на разных интервалах.

• На интервалах $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале косинус положителен ($\cos x > 0$). Модуль косинуса равен самому косинусу, и функция будет равна:

  $$y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|} = \frac{2 \cos x}{\cos x} = 2.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$ функция всегда будет равна 2.

• На интервалах $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале косинус отрицателен ($\cos x < 0$). Модуль косинуса будет равен $-\cos x$, и функция будет равна:

  $$y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|} = \frac{2 \cos x}{-\cos x} = -2.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$ функция всегда будет равна -2.

2) Условия существования выражения:

Для выражения $\frac{2 \cos x}{|\cos x|}$ важно, чтобы косинус не был равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Косинус равен нулю на точках $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Таким образом, выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

3) График функции:

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$;

1) Разбор функции на интервалах:

Здесь рассматривается произведение котангенса на модуль синуса.

• На интервалах $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале синус положителен ($\sin x > 0$), и модуль синуса равен самому синусу. Функция будет равна:

  $$y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x| = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $(2\pi n; \pi + 2\pi n)$ функция будет равна $\cos x$.

• На интервалах $(- \pi + 2\pi n; 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$:
  На этом интервале синус отрицателен ($\sin x < 0$), и модуль синуса будет равен $-\sin x$. Функция будет равна:

  $$y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x| = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x.$$

  То есть для значений $x$ на интервале $(- \pi + 2\pi n; 2\pi n)$ функция будет равна $-\cos x$.

2) Условия существования выражения:

Для выражения $\operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$ важно, чтобы синус не был равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Синус равен нулю на точках $x = 2\pi n$ и $x = \pi + 2\pi n$. Таким образом, выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x_1 \neq 2\pi n;$$ $$x_2 \neq \pi + 2\pi n.$$

3) График функции: