ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте и прочитайте график функции:

а) $y=\{\begin{array}{ll}2x-\pi ,& \text{если }x<\frac{\pi }{2}\\ \cos x,& \text{если }\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}\\ \frac{3\pi }{2}-x,& \text{если }x>\frac{3\pi }{2}\end{array}$

б) $y=\{\begin{array}{ll}\sin x,& \text{если }x\le 0\\ x^2,& \text{если }0<x<\frac{\pi }{2}\\ \cos x,& \text{если }x\ge \frac{\pi }{2}\end{array}$

а) $y = \begin{cases} 2x — \pi, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2} — x, & \text{если } x > \frac{3\pi}{2} \end{cases}$

$y = 2x — \pi$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & \frac{\pi}{2} \\ \hline y & \approx -3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} \\ \hline y & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$y = \frac{3\pi}{2} — x$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & \approx -1,5 \\ \hline \end{array}$$

Графики функции:

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; 0]$;
• Возрастает на $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right]$;
• Убывает на $\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \cup \left[ \frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$;
• $f(x) < 0$ на $\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической;

б) $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \leq 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$

$y = \sin x$ — уравнение синусоиды:

$$y(0) = \sin 0 = 0;$$

$y = x^2$ — уравнение параболы:

$$x_0 = 0, \quad y_0 = 0;$$ $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & \frac{\pi}{2} \\ \hline y & 0 & 1 & \approx 2,25 \\ \hline \end{array}$$

$y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

$$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$

Графики функции:

Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$;
• Множество значений: $E(f) = \left[ -1; \frac{\pi^2}{4} \right)$;
• Возрастает на $\left[ -\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n \right] \cup \left[ \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right]$;
• Убывает на $\left[ -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n \right] \cup \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \cup \left[ 2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n \right]$;
• $f(x) > 0$ на $\left( -2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n \right) \cup \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n \right)$;
• $f(x) < 0$ на $\left( -\pi — 2\pi n; -2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической

а) $y = \begin{cases} 2x — \pi, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2} — x, & \text{если } x > \frac{3\pi}{2} \end{cases}$

Для того чтобы понять поведение этой функции, необходимо рассмотреть её на различных интервалах, где она представлена разными выражениями.

1) Разбор $y = 2x — \pi$ — уравнение прямой:

Это уравнение прямой, которое определено на интервале $x < \frac{\pi}{2}$.

• Для $x = 0$:

  $$y = 2(0) — \pi = -\pi \approx -3,14$$

• Для $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) — \pi = \pi — \pi = 0$$

Таким образом, на интервале $(-\infty; \frac{\pi}{2})$ эта функция представляет собой прямую с угловым коэффициентом 2 и пересекает ось $y$ в точке $y = -\pi$.

Множество значений на этом интервале будет от $-\infty$ до $0$, а функция возрастает на этом интервале.

2) Разбор $y = \cos x$ — уравнение синусоиды:

Это уравнение косинуса, которое определено на интервале $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$.

• Для $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

• Для $x = \pi$:

  $$y = \cos(\pi) = -1$$

• Для $x = \frac{3\pi}{2}$:

  $$y = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$$

Таким образом, на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$ график функции будет представлять собой часть синусоиды, которая спадает от 0 до -1, а затем снова возрастает до 0.

3) Разбор $y = \frac{3\pi}{2} — x$ — уравнение прямой:

Это уравнение прямой, которое определено на интервале $x > \frac{3\pi}{2}$.

• Для $x = \frac{3\pi}{2}$:

  $$y = \frac{3\pi}{2} — \frac{3\pi}{2} = 0$$

• Для $x = 2\pi$:

  $$y = \frac{3\pi}{2} — 2\pi = \frac{3\pi}{2} — \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$$

На интервале $\left(\frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$ график функции будет представлять собой прямую с угловым коэффициентом -1, которая убывает от 0.

4) Графики функции:

График будет иметь следующие участки:

• Прямая с угловым коэффициентом 2 на интервале $(-\infty; \frac{\pi}{2})$,
• Синусоида на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$,
• Прямая с угловым коэффициентом -1 на интервале $\left( \frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$.

Между этими участками график будет иметь разрывы в точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

5) Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех значений $x$.
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; 0]$, так как все значения функции находятся ниже или равны нулю.
• Возрастание: Функция возрастает на интервалах:

  $$\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right]$$

• Убывание: Функция убывает на интервалах:

  $$\left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \cup \left[ \frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$$

• Значения функции меньше нуля: $f(x) < 0$ на:

  $$\left( -\infty; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$$

• Четность: Функция не является четной, так как она не симметрична относительно оси $y$.
• Нечетность: Функция не является нечетной, так как она не симметрична относительно начала координат.
• Периодичность: Функция не является периодической, так как она состоит из разных частей, и ее поведение не повторяется через фиксированные промежутки времени.

б) $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \leq 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Для этой функции также рассмотрим её поведение на различных интервалах, где она определена разными выражениями.

1) Разбор $y = \sin x$ — уравнение синусоиды:

Функция синуса определена на интервале $x \leq 0$. Для $x = 0$:

$$y(0) = \sin(0) = 0$$

Для всех отрицательных значений $x$ график будет представлять собой обычную синусоиду, которая колеблется от -1 до 1.

2) Разбор $y = x^2$ — уравнение параболы:

Функция $x^2$ определена на интервале $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Важно заметить, что эта парабола открывается вверх, и для $x = 0$ она равна нулю.

• Для $x = 1$:

  $$y = 1^2 = 1$$

• Для $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y = \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \approx 2,25$$

3) Разбор $y = \cos x$ — уравнение косинуса:

Функция косинуса определена на интервале $x \geq \frac{\pi}{2}$. Важные значения:

• Для $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

• Для $x = \pi$:

  $$y = \cos(\pi) = -1$$

4) Графики функции:

График функции будет состоять из:

• Синусоиды на интервале $(-\infty; 0]$,
• Параболы на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$,
• Косинусоиды на интервале $\left[ \frac{\pi}{2}; +\infty \right)$.

5) Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений: $E(f) = \left[ -1; \frac{\pi^2}{4} \right)$.
• Возрастание: Функция возрастает на интервалах:

  $$\left[ -\frac{\pi}{2} — 2\pi n; \frac{\pi}{2} — 2\pi n \right] \cup \left[ \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right]$$

• Убывание: Функция убывает на интервалах:

  $$\left[ -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n; -\frac{\pi}{2} — 2\pi n \right] \cup \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right] \cup \left[ 2\pi + 2\pi n; 3\pi + 2\pi n \right]$$

• Значения функции больше нуля: $f(x) > 0$ на:

  $$\left( -2\pi — 2\pi n; -\pi — 2\pi n \right) \cup \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{2} + 2\pi n \right)$$

• Значения функции меньше нуля: $f(x) < 0$ на:

  $$\left( -\pi — 2\pi n; -2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$$

• Четность: Функция не является четной.
• Нечетность: Функция не является нечетной.
• Периодичность: Функция не является периодической.