ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана функция $y = f(x)$, где

$$f(x) = \begin{cases} \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0, \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2, \\ -\sqrt{x — 2} + 3, & \text{если } x \geq 2. \end{cases}$$

а) Вычислите: $f(0)$, $f(6)$, $f(-\pi — 2)$;

б) Постройте график функции $y = f(x)$;

в) Прочитайте график функции $y = f(x)$.

Дана функция:

$$f(x) = \begin{cases} \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0 \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2 \\ -\sqrt{x — 2} + 3, & \text{если } x \geq 2 \end{cases};$$

а) Найдем значения:

$$f(0) = \sin \left( 0 + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$f(6) = -\sqrt{6 — 2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1;$$ $$f(-\pi — 2) — \text{нет};$$

б) График функции:

$y = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ — уравнение синусоиды:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -\frac{3\pi}{2} & -\pi & -\frac{\pi}{2} & 0 \\ \hline y & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$

$y = x + 1$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 \\ \end{array}$$

$y = -\sqrt{x — 2} + 3$ — уравнение ветви параболы:
$x_0 = 2, y_0 = 3$;

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & 3 & 2 & 1 \\ \end{array}$$

Графики функций:

в) Свойства функции:

• Область определения: $D(f) = \left[ -\frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$;
• Множество значений: $E(f) = (-\infty; 3]$;
• Возрастает на $[-\pi; 2]$;
• Убывает на $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right] \cup [2; +\infty)$;
• $f(x) > 0$ на $\left( -\frac{\pi}{2}; 11 \right)$;
• $f(x) < 0$ на $\left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right) \cup (11; +\infty)$;
• Функция ни четная, ни нечетная;
• Функция не является периодической

Дана функция:

$$f(x) = \begin{cases} \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0 \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2 \\ -\sqrt{x — 2} + 3, & \text{если } x \geq 2 \end{cases};$$

Эта функция состоит из трёх частей, каждая из которых описана на своем интервале. Давайте теперь внимательно рассмотрим каждый пункт задачи.

а) Найдем значения функции:

1. $f(0)$:

Нам нужно вычислить значение функции в точке $x = 0$. Мы видим, что точка $x = 0$ попадает в первый участок функции, так как $-\frac{3\pi}{2} \leq 0 \leq 0$. На этом участке функция задана как $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$.

Теперь вычислим значение функции в точке:

$$f(0) = \sin \left( 0 + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Таким образом, $f(0) = 1$.

2. $f(6)$:

Точка $x = 6$ попадает в третий участок функции, так как $x = 6 \geq 2$. На этом участке функция задана как $f(x) = -\sqrt{x — 2} + 3$.

Теперь вычислим значение функции в точке:

$$f(6) = -\sqrt{6 — 2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$$

Таким образом, $f(6) = 1$.

3. $f(-\pi — 2)$:

Точка $x = -\pi — 2$ не лежит в области определения функции, так как она не принадлежит ни одному из интервалов. Для первой части области $-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0$, для второй части $0 < x < 2$, и для третьей части $x \geq 2$. Точка $x = -\pi — 2$ находится за пределами области $-\frac{3\pi}{2} \leq x$, так как $-\pi — 2$ меньше, чем $-\frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, для точки $x = -\pi — 2$ значения функции не существует. Ответ: нет.

б) График функции:

Теперь давайте рассмотрим графики всех частей функции:

1. График $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ на интервале $-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0$:

На этом интервале функция $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ представляет собой синусоиду, сдвинутую на $\frac{\pi}{2}$ вправо.

Для вычисления значений на определенных точках:

• $x = -\frac{3\pi}{2}$, тогда $f(x) = \sin \left( -\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \sin(-\pi) = 0$
• $x = -\pi$, тогда $f(x) = \sin \left( -\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$
• $x = -\frac{\pi}{2}$, тогда $f(x) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \sin(0) = 0$
• $x = 0$, тогда $f(x) = \sin \left( 0 + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

Построив график по этим точкам, мы получим убывающую синусоиду с максимумом в точке $x = 0$ и нулями в точках $x = -\frac{3\pi}{2}$ и $x = -\frac{\pi}{2}$.

2. График $y = x + 1$ на интервале $0 < x < 2$:

Это уравнение прямой. Для нескольких значений:

• $x = 0$, тогда $f(x) = 0 + 1 = 1$
• $x = 2$, тогда $f(x) = 2 + 1 = 3$

График представляет собой прямую линию, которая соединяет точки $(0, 1)$ и $(2, 3)$.

3. График $y = -\sqrt{x — 2} + 3$ на интервале $x \geq 2$:

Это ветвь параболы. Для нескольких значений:

• $x = 2$, тогда $f(x) = -\sqrt{2 — 2} + 3 = 3$
• $x = 3$, тогда $f(x) = -\sqrt{3 — 2} + 3 = -1 + 3 = 2$
• $x = 6$, тогда $f(x) = -\sqrt{6 — 2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$

График представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(2, 3)$ и убывает вправо.

4. Общий график:

$x \geq 2$

в) Свойства функции:

1. Область определения $D(f)$:

• Первая часть функции определена на интервале $-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0$.
• Вторая часть функции определена на интервале $0 < x < 2$.
• Третья часть функции определена на интервале $x \geq 2$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = \left[ -\frac{3\pi}{2}; +\infty \right)$.

2. Множество значений $E(f)$:

• Первая часть функции $\sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ принимает значения от $-1$ до $1$, то есть на этом участке диапазон значений от $-1$ до $1$.
• Вторая часть функции $x + 1$ на интервале $0 < x < 2$ принимает значения от $1$ до $3$.
• Третья часть функции $-\sqrt{x — 2} + 3$ на интервале $x \geq 2$ принимает значения от $3$ до $-\infty$.

Таким образом, множество значений функции: $E(f) = (-\infty; 3]$.

3. Возрастание и убывание:

• Первая часть функции $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ на интервале $-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 0$ убывает.
• Вторая часть функции $f(x) = x + 1$ на интервале $0 < x < 2$ возрастает.
• Третья часть функции $f(x) = -\sqrt{x — 2} + 3$ на интервале $x \geq 2$ убывает.

Таким образом, функция возрастает на интервале $[ -\pi; 2 ]$ и убывает на интервалах $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\pi \right] \cup [2; +\infty)$.

4. Знаки функции:

• Функция $f(x) > 0$ на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}; 11 \right)$.
• Функция $f(x) < 0$ на интервалах $\left( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right) \cup (11; +\infty)$.

5. Четность и нечетность:

Функция ни четная, ни нечетная, так как её график не симметричен относительно оси $y$ или начала координат.

6. Периодичность:

Функция не является периодической, так как ни одна из частей функции не является периодической, и нет общих периодов для всех её частей.