ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все значения x, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число:

а) (5 — 2sinx; 5 + 2sinx);

б) [4 + 2cosx; 4 — 2cosx].

Найти все значения $x$, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число:

а) $(5 — 2\sin x; 5 + 2\sin x)$:

Данным числом является 5:

$$0 < (5 + 2\sin x) — (5 — 2\sin x) \leq 2;$$ $$0 < 4\sin x \leq 2;$$ $$0 < \sin x \leq \frac{1}{2};$$

Искомая дуга в первой четверти:

$$0 < x \leq \frac{\pi}{6};$$ $$2\pi n < x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Искомая дуга во второй четверти:

$$\frac{5\pi}{6} \leq x < \pi;$$ $$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x < \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $5; 2\pi n < x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x < \pi + 2\pi n$.

б) $[4 + 2\cos x; 4 — 2\cos x]$:

Данным числом является 4:

$$0 < (4 — 2\cos x) — (4 + 2\cos x) < 2;$$ $$0 < -4\cos x < 2;$$ $$-\frac{1}{2} < \cos x < 0;$$

Искомая дуга во второй четверти:

$$\frac{\pi}{2} < x < \frac{2\pi}{3};$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомая дуга в третьей четверти:

$$\frac{4\pi}{3} \leq x < \frac{3\pi}{2};$$ $$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $4; \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

а) $(5 — 2\sin x; 5 + 2\sin x)$:

Шаг 1: Выражаем разницу

Для того чтобы понять, на каком промежутке будет одно целое число, начнем с выражения разности:

$$(5 + 2\sin x) — (5 — 2\sin x) = 5 + 2\sin x — 5 + 2\sin x = 4\sin x.$$

Значение этой разности должно быть больше нуля и меньше или равно 2, чтобы на промежутке было одно целое число. То есть:

$$0 < 4\sin x \leq 2.$$

Шаг 2: Решим неравенство

Теперь решим неравенство:

$$0 < 4\sin x \leq 2.$$

Поделим обе части неравенства на 4:

$$0 < \sin x \leq \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Найдем промежутки для $x$

Теперь нужно найти такие значения $x$, для которых $0 < \sin x \leq \frac{1}{2}$.

Первая четверть:
В первой четверти, где $\sin x$ возрастает от 0 до 1, искомая дуга будет:

$$0 < x \leq \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом, $x$ должно быть на интервале $0 < x \leq \frac{\pi}{6}$.

Вторая четверть:
В второй четверти $\sin x$ убывает от 1 до 0, поэтому искомая дуга будет:

$$\frac{5\pi}{6} \leq x < \pi.$$

Таким образом, $x$ должно быть на интервале $\frac{5\pi}{6} \leq x < \pi$.

Шаг 4: Запишем ответы

Ответ: 5; $2\pi n < x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x < \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

б) $[4 + 2\cos x; 4 — 2\cos x]$:

Шаг 1: Выражаем разницу

Для того чтобы на промежутке было одно целое число, нужно выразить разницу между концами интервала:

$$(4 — 2\cos x) — (4 + 2\cos x) = 4 — 2\cos x — 4 — 2\cos x = -4\cos x.$$

Значение этой разности должно быть больше нуля и меньше двух, то есть:

$$0 < -4\cos x < 2.$$

Шаг 2: Решим неравенство

Теперь решим неравенство:

$$0 < -4\cos x < 2.$$

Поделим обе части неравенства на -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$$0 > \cos x \geq -\frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Найдем промежутки для $x$

Теперь нужно найти такие значения $x$, для которых $-\frac{1}{2} \leq \cos x < 0$.

Вторая четверть:
Вторая четверть на интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3} \right)$ соответствует значениям $\cos x$ от $-\frac{1}{2}$ до 0, так что искомая дуга будет:

$$\frac{\pi}{2} < x < \frac{2\pi}{3}.$$

Таким образом, $x$ должно быть на интервале $\frac{\pi}{2} < x < \frac{2\pi}{3}$.

Третья четверть:
В третьей четверти на интервале $\left( \frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right)$, $\cos x$ также принимает значения от $-\frac{1}{2}$ до 0, так что искомая дуга будет:

$$\frac{4\pi}{3} \leq x < \frac{3\pi}{2}.$$

Таким образом, $x$ должно быть на интервале $\frac{4\pi}{3} \leq x < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 4: Запишем ответы

Ответ: 4; $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Итоговые ответы:

а) 5; $2\pi n < x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x < \pi + 2\pi n$.

б) 4; $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.