ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x} (x — \pi);$

Если $\sin x > 0$, тогда:

$$y = \frac{\sin x}{\sin x} (x — \pi) = x — \pi;$$

Если $\sin x < 0$, тогда:

$$y = \frac{-\sin x}{\sin x} (x — \pi) = \pi — x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0; \quad x \neq \pi n;$$

График функции:

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|} (x + \pi);$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$y = \frac{\cos x}{\cos x} (x + \pi) = x + \pi;$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$y = \frac{\cos x}{-\cos x} (x + \pi) = -x — \pi;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0; \quad x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

График функции:

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x} (x — \pi)$

1) Разбор выражения

Данное выражение состоит из двух частей: одной части с абсолютной величиной $|\sin x|$ и второй части — линейной функции $(x — \pi)$. Чтобы понять поведение этой функции, необходимо учитывать, что абсолютная величина изменяет знак выражения в зависимости от того, является ли $\sin x$ положительным или отрицательным.

Случай 1: $\sin x > 0$

Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$, так как абсолютная величина положительного числа равна самому числу. Подставляем это в выражение для $y$:

$$y = \frac{\sin x}{\sin x} (x — \pi) = 1 \cdot (x — \pi) = x — \pi.$$

Таким образом, когда $\sin x > 0$, функция будет линейной и равной $y = x — \pi$. Это стандартная линейная функция с угловым коэффициентом 1 и смещением на $\pi$ по оси $y$.

Случай 2: $\sin x < 0$

Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$, так как абсолютная величина числа всегда положительная, а $\sin x$ в этом случае отрицательна. Подставляем это в выражение для $y$:

$$y = \frac{-\sin x}{\sin x} (x — \pi) = -1 \cdot (x — \pi) = \pi — x.$$

Таким образом, когда $\sin x < 0$, функция будет линейной и равной $y = \pi — x$. Это также линейная функция, но с угловым коэффициентом -1, то есть она будет иметь обратный наклон.

2) Условия, при которых выражение имеет смысл

Для того чтобы выражение было определено, знаменатель в дроби $\frac{|\sin x|}{\sin x}$ не должен быть равен нулю. Поскольку в дроби у нас есть $\sin x$ в знаменателе, выражение будет неопределено, когда $\sin x = 0$. Это происходит в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

Следовательно, выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3) График функции

• В интервалах, где $\sin x > 0$ (например, $(0, \pi), (2\pi, 3\pi), \dots$), график функции будет линейным и представлять собой прямую $y = x — \pi$.
• В интервалах, где $\sin x < 0$ (например, $(\pi, 2\pi), (3\pi, 4\pi), \dots$), график функции будет линейным и представлять собой прямую $y = \pi — x$.

Таким образом, график функции будет периодически меняться между этими двумя линейными функциями в зависимости от знака $\sin x$. Функция будет иметь период $2\pi$, так как периодичность функции синуса составляет $2\pi$.

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|} (x + \pi)$

1) Разбор выражения

Это выражение также состоит из двух частей: дроби с абсолютной величиной $|\cos x|$ и линейной функции $(x + \pi)$. Абсолютная величина изменяет знак дроби в зависимости от того, является ли $\cos x$ положительным или отрицательным.

Случай 1: $\cos x > 0$

Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$, так как абсолютная величина положительного числа равна самому числу. Подставляем это в выражение для $y$:

$$y = \frac{\cos x}{\cos x} (x + \pi) = 1 \cdot (x + \pi) = x + \pi.$$

Таким образом, когда $\cos x > 0$, функция будет линейной и равной $y = x + \pi$. Это стандартная линейная функция с угловым коэффициентом 1 и смещением на $\pi$ по оси $y$.

Случай 2: $\cos x < 0$

Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, так как абсолютная величина всегда положительная, а $\cos x$ в этом случае отрицательна. Подставляем это в выражение для $y$:

$$y = \frac{\cos x}{-\cos x} (x + \pi) = -1 \cdot (x + \pi) = -x — \pi.$$

Таким образом, когда $\cos x < 0$, функция будет линейной и равной $y = -x — \pi$. Это линейная функция с угловым коэффициентом -1 и смещением на $-\pi$ по оси $y$.

2) Условия, при которых выражение имеет смысл

Для того чтобы выражение было определено, знаменатель в дроби $\frac{\cos x}{|\cos x|}$ не должен быть равен нулю. Поскольку в дроби у нас есть $\cos x$ в знаменателе, выражение будет неопределено, когда $\cos x = 0$. Это происходит в точках $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Следовательно, выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3) График функции

• В интервалах, где $\cos x > 0$ (например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}), \dots$), график функции будет линейным и представлять собой прямую $y = x + \pi$.
• В интервалах, где $\cos x < 0$ (например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}), (\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}), \dots$), график функции будет линейным и представлять собой прямую $y = -x — \pi$.

Функция будет периодической с периодом $2\pi$, так как $\cos x$ имеет период $2\pi$. График будет чередоваться между двумя линейными функциями, изменяя наклон в зависимости от знака $\cos x$.