ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному:

а) на рис. 56;

б) на рис. 57;

в) рис. 58;

г) рис. 59.

Составить возможную аналитическую запись функции по ее графику:

а) Рисунок 56;

На луче $(-∞; 0)$ изображена прямая:
$y = kx + b;$

График проходит через точку $(0; 0)$, значит:
$0 = k \cdot 0 + b \quad => \quad b = 0;$
$y = kx;$

График проходит через точку $(-1; 1)$, значит:
$1 = k \cdot (-1) \quad => \quad k = -1;$
$y = -x;$

На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c;$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = a \sin kx;$

Вершина лежит в точке $\left( \frac{π}{4}; 1 \right)$, значит:
$a = 1, \quad k = \frac{π}{2} : \frac{π}{4} = \frac{4}{2} = 2;$
$y = \sin 2x;$

Ответ:

$$\begin{cases} -x, & \text{если } x \leq 0 \\ \sin 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

б) Рисунок 57;

На отрезке $\left[ -\frac{π}{6}; \frac{π}{3} \right]$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c;$

Вершина лежит в точке $(0; 1)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1;$
$y = \cos kx;$

График пересекает ось $Ox$ в точке $\left( \frac{π}{6}; 0 \right)$, значит:
$k = \frac{π}{2} : \frac{π}{6} = \frac{6}{2} = 3;$
$y = \cos 3x;$

На луче $\left[ \frac{π}{3}; +∞ \right)$ изображена прямая:
$y = -1;$

Ответ:

$$\begin{cases} \cos 3x, & \text{если } -\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{3} \\ -1, & \text{если } x > \frac{π}{3} \end{cases}$$

в) Рисунок 58;

На луче $(-∞; 0)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c;$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = a \sin kx;$

Вершина лежит в точке $\left( -\frac{π}{4}; -1 \right)$, значит:
$a = 1, \quad k = \frac{π}{2} : \frac{π}{4} = \frac{4}{2} = 2;$
$y = \sin 2x;$

На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c;$

Вершина лежит в точке $(0; 2)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 2;$
$y = 2 \cos kx;$

График пересекает ось $Ox$ в точке $\left( \frac{π}{2}; 0 \right)$, значит:
$k = \frac{π}{2} : \frac{π}{2} = 1;$
$y = 2 \cos x;$

Ответ:

$$\begin{cases} \sin 2x, & \text{если } x < 0 \\ 2 \cos x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

г) Рисунок 59;

На луче $(-∞; 0)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \sin(kx + b) + c;$

Центр симметрии лежит в точке $(0; 0)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0;$
$y = a \sin kx;$

Вершина лежит в точке $\left( -\frac{π}{2}; 2 \right)$, значит:
$a = -2, \quad k = \frac{π}{2} : \frac{π}{2} = 1;$
$y = -2 \sin x;$

На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:
$y = a \cos(kx + b) + c;$

Вершина лежит в точке $(0; 1)$, значит:
$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1;$
$y = \cos kx;$

График пересекает ось $Ox$ в точке $(π; 0)$, значит:
$k = \frac{π}{2} : π = \frac{1}{2};$
$y = \cos \frac{x}{2};$

Ответ:

$$\begin{cases} -2 \sin x, & \text{если } -2π \leq x \leq 0 \\ \cos \frac{x}{2}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

Составим аналитическую запись функции по ее графику для каждого из случаев, приведенных на рисунках.

а) Рисунок 56:

1. На луче $(-∞; 0)$ изображена прямая:

График представляет собой прямую, описываемую уравнением вида:

$$y = kx + b$$

• Прямая проходит через точку $(0; 0)$. Подставим эту точку в уравнение:

$$0 = k \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 0$$

Таким образом, уравнение прямой примет вид:

$$y = kx$$

• График также проходит через точку $(-1; 1)$. Подставим эту точку в уравнение прямой:

$$1 = k \cdot (-1) \quad \Rightarrow \quad k = -1$$

Таким образом, уравнение прямой:

$$y = -x$$

Ответ для этого участка: $y = -x$ на интервале $(-∞; 0)$.

2. На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:

График является дугой синусоиды, описываемой уравнением:

$$y = a \sin(kx + b) + c$$

• Центр симметрии синусоиды находится в точке $(0; 0)$, что означает, что амплитуда и смещение по оси $y$ равны нулю. Следовательно:

$$b = 0, \quad c = 0$$

Уравнение синусоиды принимает вид:

$$y = a \sin(kx)$$

• Вершина синусоиды лежит в точке $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$. Сначала найдём коэффициент $a$. Вершина синусоиды — это максимальное значение функции. Так как значение функции в точке вершины равно 1, то:

$$a = 1$$

Теперь найдём коэффициент $k$. Мы знаем, что для синусоиды максимум $\sin(kx)$ равен 1, когда $kx = \frac{\pi}{2}$. Вершина находится в точке $\frac{\pi}{4}$, следовательно:

$$k \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 2$$

Таким образом, уравнение синусоиды:

$$y = \sin(2x)$$

Ответ для этого участка: $y = \sin(2x)$ на интервале $[0; +∞)$.

Ответ для а):

Функция $y$ описана следующим образом:

$$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \leq 0 \\ \sin(2x), & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

б) Рисунок 57:

1. На отрезке $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right]$ изображена дуга синусоиды:

График представляет собой дугу косинусоиды, описываемую уравнением:

$$y = a \cos(kx + b) + c$$

• Вершина синусоиды лежит в точке $(0; 1)$, что означает, что смещение по оси $y$ равно 1. Следовательно:

$$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1$$

Таким образом, уравнение косинусоиды:

$$y = \cos(kx)$$

• График пересекает ось $Ox$ в точке $\left(\frac{\pi}{6}; 0\right)$. То есть, когда $x = \frac{\pi}{6}$, функция равна 0. Это означает, что $k \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, так как косинус имеет нули в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots$. Тогда:

$$k \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 3$$

Таким образом, уравнение косинусоиды:

$$y = \cos(3x)$$

Ответ для этого участка: $y = \cos(3x)$ на интервале $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right]$.

2. На луче $\left[\frac{\pi}{3}; +∞\right)$ изображена прямая:

График представляет собой горизонтальную прямую с уравнением:

$$y = -1$$

Ответ для этого участка: $y = -1$ на интервале $\left[\frac{\pi}{3}; +∞\right)$.

Ответ для б):

Функция $y$ описана следующим образом:

$$y = \begin{cases} \cos(3x), & \text{если } -\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \\ -1, & \text{если } x > \frac{\pi}{3} \end{cases}$$

в) Рисунок 58:

1. На луче $(-∞; 0)$ изображена дуга синусоиды:

График представляет собой дугу синусоиды, описываемую уравнением:

$$y = a \sin(kx + b) + c$$

• Центр симметрии синусоиды находится в точке $(0; 0)$, значит:

$$b = 0, \quad c = 0$$

Уравнение синусоиды:

$$y = a \sin(kx)$$

• Вершина синусоиды лежит в точке $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$. Вершина синусоиды — это минимум функции, и мы знаем, что минимум функции $\sin(kx)$ равен $-1$ при $kx = -\frac{\pi}{2}$. Следовательно:

$$a = 1$$

Теперь найдём коэффициент $k$. Мы знаем, что для синусоиды минимум $\sin(kx)$ равен $-1$, когда $kx = -\frac{\pi}{2}$. Вершина находится в точке $-\frac{\pi}{4}$, значит:

$$k \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 2$$

Таким образом, уравнение синусоиды:

$$y = \sin(2x)$$

Ответ для этого участка: $y = \sin(2x)$ на интервале $(-∞; 0)$.

2. На луче $[0; +∞)$ изображена дуга синусоиды:

График представляет собой дугу косинусоиды, описываемую уравнением:

$$y = a \cos(kx + b) + c$$

• Вершина синусоиды лежит в точке $(0; 2)$, что означает, что смещение по оси $y$ равно 2. Следовательно:

$$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 2$$

Уравнение косинусоиды:

$$y = 2 \cos(kx)$$

• График пересекает ось $Ox$ в точке $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$. Таким образом, для косинусоиды нулевое значение функции происходит при $kx = \frac{\pi}{2}$, то есть:

$$k \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 1$$

Таким образом, уравнение косинусоиды:

$$y = 2 \cos(x)$$

Ответ для этого участка: $y = 2 \cos(x)$ на интервале $[0; +∞)$.

Ответ для в):

Функция $y$ описана следующим образом:

$$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x < 0 \\ 2 \cos(x), & \text{если } x > 0 \end{cases}$$

г) Рисунок 59:

1. На луче $(-∞; 0)$ изображена дуга синусоиды:

График представляет собой дугу синусоиды, описываемую уравнением:

$$y = a \sin(kx + b) + c$$

• Центр симметрии синусоиды находится в точке $(0; 0)$, значит:

$$b = 0, \quad c = 0$$

Уравнение синусоиды:

$$y = a \sin(kx)$$

• Вершина синусоиды лежит в точке $\left(-\frac{\pi}{2}; 2\right)$. Вершина синусоиды — это максимум функции, и мы знаем, что максимум функции $\sin(kx)$ равен 1 при $kx = \frac{\pi}{2}$. Следовательно:

$$a = -2$$

Теперь найдём коэффициент $k$. Мы знаем, что для синусоиды максимум $\sin(kx)$ равен 2, когда $kx = \frac{\pi}{2}$. Вершина находится в точке $-\frac{\pi}{2}$, значит:

$$k \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 1$$

Таким образом, уравнение синусоиды:

$$y = -2 \sin(x)$$

Ответ для этого участка: $y = -2 \sin(x)$ на интервале $(-∞; 0)$.

2. На луче $[0; +∞)$ изображена дуга косинусоиды:

График представляет собой дугу косинусоиды, описываемую уравнением:

$$y = a \cos(kx + b) + c$$

• Вершина синусоиды лежит в точке $(0; 1)$, что означает, что смещение по оси $y$ равно 1. Следовательно:

$$b = 0, \quad c = 0, \quad a = 1$$

Уравнение косинусоиды:

$$y = \cos(kx)$$

• График пересекает ось $Ox$ в точке $(\pi; 0)$. Таким образом, для косинусоиды нулевое значение функции происходит при $kx = \pi$, то есть:

$$k \cdot \pi = \pi \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2}$$

Таким образом, уравнение косинусоиды:

$$y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$$

Ответ для этого участка: $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ на интервале $[0; +∞)$.

Ответ для г):

Функция $y$ описана следующим образом:

$$y = \begin{cases} -2 \sin(x), & \text{если } -2\pi \leq x \leq 0 \\ \cos\left(\frac{x}{2}\right), & \text{если } x > 0 \end{cases}$$