ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha каких промежутках функция $y = -0.5 \sin \frac{2x}{3}$:

а) возрастает;

б) убывает?

На каких промежутках функция $y = -0.5 \sin \frac{2x}{3}$:

а) Возрастает;

Функция $y = -\sin x$ возрастает на отрезке:
$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2};$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$

Значит данная функция возрастает на отрезке:
$\frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{3}{2} \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right);$
$\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \leq x \leq \frac{9\pi}{4} + 3\pi n;$

б) Убывает;

Функция $y = -\sin x$ убывает на отрезке:
$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2};$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Значит данная функция убывает на отрезке:
$\frac{3}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right);$
$-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 3\pi n;$

Для того чтобы решить задачу, давайте подробно разберем, на каких промежутках возрастает и убывает функция $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$.

Шаг 1: Анализ функции $y = -\sin x$

Для начала вспомним основные свойства функции $y = -\sin x$:

1. Функция $y = -\sin x$ возрастает на промежутках, где производная функции положительна. Для функции $y = -\sin x$ её производная:

   $$\frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x.$$

   Функция возрастает, когда $-\cos x > 0$, то есть $\cos x < 0$. Это происходит на промежутке:

   $$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2},$$

   и в периодических интервалах с шагом $2\pi$. То есть функция возрастает на отрезках:

   $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Функция $y = -\sin x$ убывает на промежутках, где производная функции отрицательна. Для $y = -\sin x$ убывает, когда $-\cos x > 0$, то есть $\cos x < 0$, что эквивалентно отрезкам:

   $$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 2: Применение к функции $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$

Теперь переходим к анализу функции $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$.

Для начала найдем производную данной функции:

$$\frac{d}{dx} \left( -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right) \right) = -0.5 \cdot \cos \left( \frac{2x}{3} \right) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} \cos \left( \frac{2x}{3} \right).$$

Мы видим, что функция будет возрастать, когда производная положительна, то есть $\cos \left( \frac{2x}{3} \right) < 0$.

Для $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$ убывает на отрезках, когда $\cos \left( \frac{2x}{3} \right) < 0$.

a) Когда функция возрастает

Пусть $f(x) = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$. Мы уже нашли, что она возрастает на промежутках, где $\cos \left( \frac{2x}{3} \right) < 0$.

Для функции $y = -\sin x$, мы знаем, что она возрастает на промежутке:

$$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}.$$

Для функции $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$, аналогично можно найти, что она возрастает на промежутке:

$$\frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{3}{2} \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right),$$

что можно записать в виде:

$$\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \leq x \leq \frac{9\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) Когда функция убывает

Аналогично для функции $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$ она убывает на промежутках, где $\cos \left( \frac{2x}{3} \right) > 0$.

Для функции $y = -\sin x$, мы знаем, что она убывает на промежутке:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.$$

Для функции $y = -0.5 \sin \left( \frac{2x}{3} \right)$, аналогично можно найти, что она убывает на промежутке:

$$\frac{3}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right),$$

что можно записать в виде:

$$-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

а) Функция возрастает на промежутках:

$$\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \leq x \leq \frac{9\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) Функция убывает на промежутках:

$$-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$