ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha каких промежутках функция $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$:

а) возрастает;

б) убывает?

На каких промежутках функция $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$:

а) Возрастает;

Функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке:
$-\pi \leq x \leq 0;$
$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n;$

Значит данная функция возрастает на отрезке:
$\frac{1}{2} \left( -\pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$
$\frac{1}{2} \left( -\frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$
$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{3} + \pi n;$

б) Убывает;

Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке:
$0 \leq x \leq \pi;$
$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$

Значит данная функция убывает на отрезке:
$\frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( \pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$
$\frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right);$
$-\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Дана функция:

$$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$$

Нужно найти промежутки, на которых эта функция возрастает и убывает. Для этого:

1. Исследуем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.
2. Рассмотрим, на каких промежутках функция возрастает и убывает для базовой функции $y = \cos x$, а затем применим эти данные к нашей функции.

Шаг 1. Производная функции

Мы начнём с того, что найдём производную функции $y = 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$.

Используем правило дифференцирования для композиции функций:

$$\frac{d}{dx} [ \cos(u) ] = — \sin(u) \cdot \frac{du}{dx}$$

Здесь $u = 2x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда:

$$\frac{d}{dx} \left( 3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) \right) = -3 \sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$$

Так как $\frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) = 2$, получаем:

$$y’ = -6 \sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$$

Шаг 2. Анализ производной

Теперь нужно изучить знак производной, чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает.

1. Функция возрастает, если производная $y’ > 0$.
2. Функция убывает, если производная $y’ < 0$.

Нам нужно понять, на каких промежутках $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$ имеет положительные или отрицательные значения.

Шаг 3. Нахождение промежутков, на которых синус положителен или отрицателен

Рассмотрим аргумент функции синуса:

$$2x + \frac{2\pi}{3}$$

Для нахождения промежутков, на которых синус положителен или отрицателен, нужно решить неравенства для синуса.

Возрастание функции:

Функция $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$ будет положительной, если:

$$\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) > 0$$

Синус положителен на промежутках:

$$0 < 2x + \frac{2\pi}{3} < \pi \quad \text{или} \quad 2x + \frac{2\pi}{3} = 2\pi n + \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$$

Убывание функции:

Синус будет отрицателен на промежутках:

$$\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) < 0$$

Шаг 4. Применение этих промежутков к функции $3 \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$

Теперь применим информацию о знаках синуса к конкретной функции.

а) Возрастание:

Функция возрастает на тех же промежутках, где $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) > 0$, то есть на следующих интервалах:

$$\frac{1}{2} \left( -\pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( -\frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{3} + \pi n.$$

б) Убывание:

Функция убывает на промежутках, где $\sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) < 0$, то есть на следующих интервалах:

$$\frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( \pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$-\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Итог:

• Функция возрастает на промежутках:

$$\frac{1}{2} \left( -\pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( -\frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$-\frac{5\pi}{6} + \pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{3} + \pi n.$$

• Функция убывает на промежутках:

$$\frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( \pi — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right);$$ $$-\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n.$$