ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) 0,(36);

б) 12,0(006);

в) -1,2(3);

г) -0,01(234).

Записать число в виде обыкновенной несократимой дроби:

а) Число $0,(36)$;

Пусть $x$ — данная дробь, тогда:

$$x = 0,(36);$$ $$100x = 36,(36);$$ $$x = \frac{99x}{99} = \frac{100x — x}{99} = \frac{36,(36) — 0,(36)}{99} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11};$$

Ответ: $\frac{4}{11}$.

б) Число $12,0(006)$;

Пусть $x$ — данная дробь, тогда:

$$x = 12,0(006);$$ $$10x = 120,(006);$$ $$10\,000x = 120\,006,(006);$$ $$x = \frac{9\,990x}{9\,990} = \frac{10\,000x — 10x}{9\,990};$$ $$x = \frac{120\,006,(006) — 120,(006)}{9\,990} = \frac{119\,886}{9\,990} = \frac{19\,981}{1\,665} = 12\frac{1}{1\,665}.$$

Ответ: $12\frac{1}{1\,665}$.

в) Число $-1,2(3)$;

Пусть $x$ — данная дробь, тогда:

$$x = -1,2(3);$$ $$10x = -12,(3);$$ $$100x = -123,(3);$$ $$x = \frac{90x}{90} = \frac{100x — 10x}{90} = \frac{-123,(3) + 12,(3)}{90} = -\frac{111}{90} = -\frac{37}{30} = -1\frac{7}{30}.$$

Ответ: $-1\frac{7}{30}$.

г) Число $-0,01(234)$;

Пусть $x$ — данная дробь, тогда:

$$x = -0,01(234);$$ $$100x = -1,(234);$$ $$100\,000x = -1\,234,(234);$$ $$x = \frac{99\,900x}{99\,900} = \frac{100\,000x — 100x}{99\,900};$$ $$x = \frac{-1\,234,(234) + 1,(234)}{99\,900} = \frac{-1\,233}{99\,900} = -\frac{137}{11\,100}.$$

Ответ: $-\frac{137}{11\,100}$.

а) Число $0,(36)$

Это периодическая десятичная дробь, где период «36» повторяется бесконечно. Мы будем использовать стандартную технику для нахождения обыкновенной дроби для периодических десятичных чисел.

Шаг 1: Обозначим число как $x$:

$$x = 0,(36).$$

Здесь $x$ — это искомое число.

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 100, чтобы сдвигать запятую на два знака вправо:

$$100x = 36,(36).$$

Теперь $100x$ представляет число, у которого период «36» начинается сразу после запятой.

Шаг 3: Вычтем из первого уравнения второе, чтобы избавиться от повторяющегося периода:

$$100x — x = 36,(36) — 0,(36).$$

Таким образом, получаем:

$$99x = 36.$$

Шаг 4: Решим это уравнение для $x$:

$$x = \frac{36}{99}.$$

Шаг 5: Упростим дробь. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. НОД чисел 36 и 99 равен 9:

$$\frac{36}{99} = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}.$$

Ответ: $\frac{4}{11}$.

б) Число $12,0(006)$

Это периодическая десятичная дробь, где «006» — период, повторяющийся бесконечно. Мы воспользуемся аналогичной техникой для нахождения дроби.

Шаг 1: Обозначим число как $x$:

$$x = 12,0(006).$$

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвигать запятую на один знак вправо:

$$10x = 120,(006).$$

Теперь $10x$ — это число, у которого период «006» начинается сразу после запятой.

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на 10,000, чтобы сдвигать запятую на четыре знака вправо и обеспечить, чтобы весь период оказался в числе:

$$10\,000x = 120\,006,(006).$$

Теперь $10\,000x$ — это число, у которого период «006» повторяется бесконечно.

Шаг 4: Вычтем из второго уравнения первое:

$$10\,000x — 10x = 120\,006,(006) — 120,(006).$$

Получаем:

$$9\,990x = 119\,886.$$

Шаг 5: Решим это уравнение для $x$:

$$x = \frac{119\,886}{9\,990}.$$

Шаг 6: Упростим дробь. Для этого нужно найти НОД числителя и знаменателя. НОД чисел 119,886 и 9,990 равен 9:

$$\frac{119\,886}{9\,990} = \frac{119\,886 \div 9}{9\,990 \div 9} = \frac{19\,981}{1\,665}.$$

Шаг 7: Запишем результат в смешанном виде. Дробь $\frac{19\,981}{1\,665}$ можно преобразовать в смешанное число:

$$\frac{19\,981}{1\,665} = 12 \frac{1}{1\,665}.$$

Ответ: $12 \frac{1}{1\,665}$.

в) Число $-1,2(3)$

Это отрицательная периодическая десятичная дробь, где «3» повторяется бесконечно. Рассмотрим аналогичный метод.

Шаг 1: Обозначим число как $x$:

$$x = -1,2(3).$$

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвигать запятую на один знак вправо:

$$10x = -12,(3).$$

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на 100, чтобы сдвигать запятую на два знака вправо:

$$100x = -123,(3).$$

Шаг 4: Вычтем из второго уравнения первое:

$$100x — 10x = -123,(3) — (-12,(3)).$$

Получаем:

$$90x = -111.$$

Шаг 5: Решим это уравнение для $x$:

$$x = \frac{-111}{90}.$$

Шаг 6: Упростим дробь. Для этого нужно найти НОД числителя и знаменателя. НОД чисел 111 и 90 равен 3:

$$\frac{-111}{90} = \frac{-111 \div 3}{90 \div 3} = \frac{-37}{30}.$$

Шаг 7: Запишем результат в смешанном виде. Дробь $\frac{-37}{30}$ можно преобразовать в смешанное число:

$$\frac{-37}{30} = -1 \frac{7}{30}.$$

Ответ: $-1 \frac{7}{30}$.

г) Число $-0,01(234)$

Это отрицательная периодическая десятичная дробь, где «234» повторяется бесконечно. Рассмотрим метод преобразования.

Шаг 1: Обозначим число как $x$:

$$x = -0,01(234).$$

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 100, чтобы сдвигать запятую на два знака вправо:

$$100x = -1,(234).$$

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на 100,000, чтобы сдвигать запятую на пять знаков вправо:

$$100\,000x = -1\,234,(234).$$

Шаг 4: Вычтем из второго уравнения первое:

$$100\,000x — 100x = -1\,234,(234) — (-1,(234)).$$

Получаем:

$$99\,900x = -1\,233.$$

Шаг 5: Решим это уравнение для $x$:

$$x = \frac{-1\,233}{99\,900}.$$

Шаг 6: Упростим дробь. Для этого нужно найти НОД числителя и знаменателя. НОД чисел 1,233 и 99,900 равен 9:

$$\frac{-1\,233}{99\,900} = \frac{-1\,233 \div 9}{99\,900 \div 9} = \frac{-137}{11\,100}.$$

Ответ: $-\frac{137}{11\,100}$.

Итоги:

1. $0,(36) = \frac{4}{11}$.
2. $12,0(006) = 12 \frac{1}{1\,665}$.
3. $-1,2(3) = -1 \frac{7}{30}$.
4. $-0,01(234) = -\frac{137}{11\,100}$.