ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений заданной функции:

а) $y = \operatorname{tg} x$, $x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$;

б) $y = \operatorname{ctg} x$, $x \in \left[ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3} \right]$;

в) $y = \operatorname{tg} x$, $x \in \left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$;

г) $y = \operatorname{ctg} x$, $x \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \cup \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$

Найти область значений заданной функции:

а) $y = \operatorname{tg} x$, $x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$;

Функция имеет разрыв в точке $x = \frac{\pi}{2}$;

$y_{\text{наим}} = y(0) = \operatorname{tg} 0 = \frac{\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0$;

$y_{\text{наиб}}$ — нет;

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) $y = \operatorname{ctg} x$, $x \in \left[ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3} \right]$;

Функция не имеет разрывов на промежутке;

$y_{\text{наим}} = y\left( -\frac{\pi}{3} \right) = \operatorname{ctg}\left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$;

$y_{\text{наиб}} = y\left( -\frac{5\pi}{6} \right) = \operatorname{ctg}\left( -\frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\cos \frac{5\pi}{6}}{\sin \frac{5\pi}{6}} = -\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$;

Ответ: $y \in \left[ -\frac{1}{\sqrt{3}}; \sqrt{3} \right]$.

в) $y = \operatorname{tg} x$, $x \in \left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$;

Функция имеет разрыв в точке $x = \frac{3\pi}{2}$;

На интервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right)$:

$y_{\text{наим}} = y\left( \frac{3\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \frac{\sin \frac{3\pi}{4}}{\cos \frac{3\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$;

$y_{\text{наиб}}$ — нет;

На интервале $\left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$:

$y_{\text{наим}}$ — нет;

$y_{\text{наиб}} = y\left( \frac{7\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} = \frac{\sin \frac{7\pi}{4}}{\cos \frac{7\pi}{4}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$;

Ответ: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) $y = \operatorname{ctg} x$, $x \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \cup \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$;

Функция имеет разрыв в точке $x = \pi$;

На интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$:

$y_{\text{наим}}$ — нет;

$y_{\text{наиб}} = y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$;

На интервале $\left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$:

$y_{\text{наим}} = y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2} = \frac{\cos \frac{3\pi}{2}}{\sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0$;

$y_{\text{наиб}}$ — нет;

Ответ: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

а) $y = \operatorname{tg} x$, $x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$

Анализ функции:

• Функция $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ — это тангенс, который имеет разрыв в точке, где $\cos x = 0$. В пределах данного промежутка, $x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$, наибольший интерес представляет точка $x = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, и здесь тангенс стремится к бесконечности.
• Таким образом, $\operatorname{tg} x$ будет определена на интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, но не включительно.

Минимальное значение функции:

• В точке $x = 0$, $\operatorname{tg} 0 = \frac{\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0$.
• Следовательно, минимальное значение функции на этом промежутке равно $y_{\text{наим}} = 0$.

Максимальное значение функции:

• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв, и значение тангенса стремится к бесконечности:

  $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} \operatorname{tg} x = +\infty$$

• То есть функция не имеет конечного максимума на данном промежутке.

Ответ:

• Область значений функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right)$ равна $[0; +\infty)$.

б) $y = \operatorname{ctg} x$, $x \in \left[ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3} \right]$

Анализ функции:

• Функция $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ — это котангенс, который имеет разрыв в точках, где $\sin x = 0$.
• На интервале $\left[ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3} \right]$ функция не имеет разрывов, так как $\sin x \neq 0$ для всех значений $x$ из этого интервала.

Минимальное значение функции:

• Для нахождения минимального значения функции на промежутке нужно вычислить значение функции в правой границе интервала $x = -\frac{\pi}{3}$:

  $$y\left( -\frac{\pi}{3} \right) = \operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

• Это значение и будет минимальным, так как котангенс на этом интервале убывает.

Максимальное значение функции:

• Для нахождения максимального значения функции на промежутке нужно вычислить значение функции в левой границе интервала $x = -\frac{5\pi}{6}$:

  $$y\left( -\frac{5\pi}{6} \right) = \operatorname{ctg} \left( -\frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\cos \frac{5\pi}{6}}{\sin \frac{5\pi}{6}} = -\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

• Это значение и будет максимальным, так как котангенс на этом интервале возрастает.

Ответ:

• Область значений функции $y = \operatorname{ctg} x$ на интервале $\left[ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{3} \right]$ равна $\left[ -\frac{1}{\sqrt{3}}; \sqrt{3} \right]$.

в) $y = \operatorname{tg} x$, $x \in \left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$

Анализ функции:

• Функция $y = \operatorname{tg} x$ имеет разрыв в точке $x = \frac{3\pi}{2}$, где $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$. Следовательно, на этом промежутке функция будет разрывной в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.
• Интервал можно разделить на два: $\left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right)$ и $\left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$.

Минимальное и максимальное значения на интервале $\left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right)$:

• В точке $x = \frac{3\pi}{4}$ значение функции:

  $$y\left( \frac{3\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \frac{\sin \frac{3\pi}{4}}{\cos \frac{3\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$$

• Так как функция стремится к бесконечности в точке разрыва $x = \frac{3\pi}{2}$, минимальное значение на данном интервале $y_{\text{наим}} = -1$, а максимума нет.

Минимальное и максимальное значения на интервале $\left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$:

• В точке $x = \frac{7\pi}{4}$ значение функции:

  $$y\left( \frac{7\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} = \frac{\sin \frac{7\pi}{4}}{\cos \frac{7\pi}{4}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$$

• На этом интервале минимального значения нет, так как функция стремится к минус бесконечности при приближении к точке разрыва $x = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ:

• Область значений функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервалах $\left( \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4} \right)$ равна $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) $y = \operatorname{ctg} x$, $x \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \cup \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$

Анализ функции:

• Функция $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ имеет разрыв в точке $x = \pi$, так как $\sin \pi = 0$.
• Интервал можно разделить на два: $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$ и $\left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$.

Минимальное и максимальное значения на интервале $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)$:

• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции:

  $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$$

• Функция стремится к минус бесконечности при приближении к точке $x = \pi$, поэтому минимальное значение функции равно $y_{\text{наим}} = -\infty$.

Минимальное и максимальное значения на интервале $\left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$:

• В точке $x = \frac{3\pi}{2}$ значение функции:

  $$y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2} = \frac{\cos \frac{3\pi}{2}}{\sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0$$

• Функция стремится к плюс бесконечности при приближении к точке $x = \pi$, поэтому максимальное значение функции равно $y_{\text{наиб}} = +\infty$.

Ответ:

• Область значений функции $y = \operatorname{ctg} x$ на интервалах $\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \cup \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right)$ равна $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.