ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{tg}(9\pi — x) = -\frac{3}{4}$, найти $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$.

1) Найдем тангенс от $x$:

$$\operatorname{tg}(9\pi — x) = \operatorname{tg}(-x + 9\pi) = \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x;$$ $$-\operatorname{tg} x = -\frac{3}{4};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{3}{4};$$

2) Найдем котангенс от $x$:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 1 : \frac{3}{4} = \frac{4}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\operatorname{tg} x = \frac{3}{4}, \quad \operatorname{ctg} x = \frac{4}{3}}$$

Известно, что $\operatorname{tg}(9\pi — x) = -\frac{3}{4}$, найти $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$.

Шаг 1: Изучаем основное свойство функции тангенса

1.1. Анализ аргумента в функции тангенса:

Нам даны следующие данные:

$$\operatorname{tg}(9\pi — x) = -\frac{3}{4}.$$

Используем периодичность функции $\operatorname{tg}$, которая повторяется с периодом $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(\theta + \pi) = \operatorname{tg}(\theta).$$

Таким образом, мы можем привести выражение $9\pi — x$ к более удобному виду. Разделим $9\pi$ на $2\pi$ (период тангенса) и рассмотрим, как это влияет на угол.

1.2. Преобразуем аргумент $9\pi — x$:

Запишем $9\pi$ как сумму $2\pi$ и $7\pi$:

$$9\pi = 2\pi \cdot 4 + \pi.$$

Таким образом, мы можем записать:

$$9\pi — x = 2\pi \cdot 4 + \pi — x.$$

По свойствам тангенса $\operatorname{tg}(\theta + 2k\pi) = \operatorname{tg}(\theta)$ для любого целого числа $k$, это выражение превращается в:

$$\operatorname{tg}(9\pi — x) = \operatorname{tg}(\pi — x).$$

1.3. Свойства тангенса при угле $\pi — x$:

Тангенс функции $\pi — x$ связан с тангенсом $x$ следующим образом:

$$\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg}(x).$$

Итак, можно выразить:

$$\operatorname{tg}(9\pi — x) = -\operatorname{tg}(x).$$

Таким образом, имеем:

$$-\operatorname{tg}(x) = -\frac{3}{4}.$$

Шаг 2: Решаем уравнение для тангенса

Теперь у нас есть уравнение:

$$-\operatorname{tg}(x) = -\frac{3}{4}.$$

Для того чтобы избавиться от минусов, умножим обе части уравнения на $-1$:

$$\operatorname{tg}(x) = \frac{3}{4}.$$

Таким образом, мы нашли:

$$\operatorname{tg} x = \frac{3}{4}.$$

Шаг 3: Находим котангенс от $x$

Котангенс $\operatorname{ctg}(x)$ — это обратная величина тангенса, то есть:

$$\operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x)}.$$

Подставляем найденное значение $\operatorname{tg}(x) = \frac{3}{4}$:

$$\operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}.$$

Ответ:

• $\operatorname{tg}(x) = \frac{3}{4}$,
• $\operatorname{ctg}(x) = \frac{4}{3}$.

Объяснение каждого шага:

1. Применение периодичности тангенса:
   Мы использовали периодичность тангенса для преобразования угла $9\pi — x$ в более удобную форму. При этом применили свойство тангенса $\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg}(x)$, чтобы упростить выражение.
2. Решение уравнения для тангенса:
   После того как мы упростили выражение для тангенса, мы решали уравнение $-\operatorname{tg}(x) = -\frac{3}{4}$ и получили $\operatorname{tg}(x) = \frac{3}{4}$.
3. Вычисление котангенса:
   Используя определение котангенса как обратной величины тангенса, мы нашли $\operatorname{ctg}(x) = \frac{4}{3}$.