ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$, найти $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$.

1) Найдем котангенс от $x$:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \operatorname{ctg}(-x + 7\pi) = \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x;$$ $$-\operatorname{ctg} x = \frac{5}{7};$$ $$\operatorname{ctg} x = -\frac{5}{7};$$

2) Найдем тангенс от $x$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{ctg} x} = 1 : \left( -\frac{5}{7} \right) = -\frac{7}{5};$$

Ответ:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{7}{5}; \quad \operatorname{ctg} x = -\frac{5}{7}.$$

Известно, что $\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}$, найти $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$.

Шаг 1: Применение свойств котангенса

1.1. Разбираемся с выражением $\operatorname{ctg}(7\pi — x)$:

Нам дана следующая информация:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \frac{5}{7}.$$

Первое, что стоит заметить — это использование свойства функции котангенса, которая является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что:

$$\operatorname{ctg}(\theta + \pi) = \operatorname{ctg}(\theta).$$

Также известно, что котангенс функции $\operatorname{ctg}(\pi — x)$ имеет такой вид:

$$\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg}(x).$$

Используем это свойство для выражения $7\pi — x$. Поскольку $7\pi$ является кратным $\pi$, можем записать:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = \operatorname{ctg}(\pi — x).$$

Итак, у нас:

$$\operatorname{ctg}(7\pi — x) = -\operatorname{ctg}(x).$$

Следовательно, из условия задачи:

$$-\operatorname{ctg}(x) = \frac{5}{7}.$$

Шаг 2: Находим значение котангенса $x$

Теперь, имея уравнение:

$$-\operatorname{ctg}(x) = \frac{5}{7},$$

умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса:

$$\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}.$$

Таким образом, мы нашли:

$$\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}.$$

Шаг 3: Найдем тангенс от $x$

Котангенс и тангенс связаны следующим образом:

$$\operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x)}.$$

Из этого мы можем выразить тангенс как обратную величину котангенса:

$$\operatorname{tg}(x) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(x)}.$$

Подставляем найденное значение $\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$:

$$\operatorname{tg}(x) = \frac{1}{-\frac{5}{7}} = -\frac{7}{5}.$$

Ответ:

• $\operatorname{tg}(x) = -\frac{7}{5}$,
• $\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$.

Объяснение каждого шага:

1. Применение периодичности и свойств котангенса:
   Мы использовали свойства функции котангенса, в частности, что $\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg}(x)$ и что котангенс является периодической функцией с периодом $\pi$.
2. Решение уравнения для котангенса:
   Из уравнения $-\operatorname{ctg}(x) = \frac{5}{7}$ мы умножили обе части на $-1$ и получили $\operatorname{ctg}(x) = -\frac{5}{7}$.
3. Вычисление тангенса:
   Зная, что $\operatorname{ctg}(x) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x)}$, мы нашли тангенс как обратную величину котангенса, что дало нам $\operatorname{tg}(x) = -\frac{7}{5}$.