ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) у = -tg(cosx) · ctg(cosx);

б) у = -2tg(sinx) · ctg(sinx).

а)
$y = -\operatorname{tg}(\cos x) \cdot \operatorname{ctg}(\cos x) = -\frac{\sin(\cos x)}{\cos(\cos x)} \cdot \frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)} = -1;$

Косинус принимает значения:
$-1 \leq \cos x \leq 1;$

Выражение имеет смысл при:
$\cos(\cos x) \neq 0;$
$x \in \mathbb{R};$

Выражение имеет смысл при:
$\sin(\cos x) \neq 0;$
$\cos x \neq 0;$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$

График функции:

б)
$y = -2 \operatorname{tg}(\sin x) \cdot \operatorname{ctg}(\sin x) = -2 \cdot \frac{\sin(\sin x)}{\cos(\sin x)} \cdot \frac{\cos(\sin x)}{\sin(\sin x)} = -2;$

Синус принимает значения:
$-1 \leq \sin x \leq 1;$

Выражение имеет смысл при:
$\cos(\sin x) \neq 0;$
$x \in \mathbb{R};$

Выражение имеет смысл при:
$\sin(\sin x) \neq 0;$
$\sin x \neq 0;$
$x \neq \pi n;$

График функции:

а) $y = -\operatorname{tg}(\cos x) \cdot \operatorname{ctg}(\cos x)$

1) Тригонометрические преобразования:

• Начнем с выражения $y = -\operatorname{tg}(\cos x) \cdot \operatorname{ctg}(\cos x)$.
• Используем основные тригонометрические идентичности:
  • $\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,
  • $\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.

Таким образом, можно выразить функцию $y$ как:

$$y = -\left(\frac{\sin(\cos x)}{\cos(\cos x)}\right) \cdot \left(\frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)}\right).$$

Заметим, что в этом произведении $\cos(\cos x)$ и $\sin(\cos x)$ взаимно сокращаются:

$$y = -\frac{\sin(\cos x)}{\cos(\cos x)} \cdot \frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)} = -1.$$

2) Область определения:

• Выражение для $y$ всегда равно $-1$, однако для этого нужно, чтобы $\cos(\cos x) \neq 0$ и $\sin(\cos x) \neq 0$, так как деление на ноль не определено.
• Рассмотрим два условия:
  • $\cos(\cos x) \neq 0$ означает, что $\cos x$ не может быть значением, при котором $\cos(\theta) = 0$. Это происходит при $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
  • $\sin(\cos x) \neq 0$ означает, что $\cos x$ не может быть таким, при котором $\sin(\theta) = 0$. Это происходит при $\cos x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Итак, область определения функции будет:

$$\cos(\cos x) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\sin(\cos x) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Таким образом, область определения функции:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x \neq \pi n.$$

3) График функции:

• Поскольку выражение всегда равно $-1$, график функции представляет собой горизонтальную прямую $y = -1$.
• График будет прерываться в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = \pi n$, так как в этих точках функция $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ имеют асимптоты, а деление на ноль невозможно.

б) $y = -2 \operatorname{tg}(\sin x) \cdot \operatorname{ctg}(\sin x)$

1) Тригонометрические преобразования:

• Начнем с выражения $y = -2 \operatorname{tg}(\sin x) \cdot \operatorname{ctg}(\sin x)$.
• Используем те же тригонометрические идентичности для тангенса и котангенса:
  • $\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,
  • $\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.

Таким образом, выражение для $y$ будет:

$$y = -2 \left( \frac{\sin(\sin x)}{\cos(\sin x)} \right) \cdot \left( \frac{\cos(\sin x)}{\sin(\sin x)} \right).$$

Подставляем и упрощаем:

$$y = -2 \cdot \frac{\sin(\sin x)}{\cos(\sin x)} \cdot \frac{\cos(\sin x)}{\sin(\sin x)} = -2.$$

Здесь мы видим, что результат всегда равен $-2$, независимо от значения $x$.

2) Область определения:

• Функции $\operatorname{tg}(\sin x)$ и $\operatorname{ctg}(\sin x)$ имеют ограничения:
  • $\cos(\sin x) \neq 0$, так как $\operatorname{ctg}$ делит на $\sin(\sin x)$, а $\sin(\sin x) \neq 0$ требует, чтобы $\sin x \neq 0$.
• Следовательно, выражение имеет смысл, если:
  • $\cos(\sin x) \neq 0$, что подразумевает, что $\sin x$ не может быть таким, при котором $\cos(\theta) = 0$. Это условие выполняется для значений $\sin x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
  • $\sin(\sin x) \neq 0$, что означает, что $\sin x \neq 0$.

Таким образом, область определения функции:

$$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3) График функции:

• Поскольку выражение всегда равно $-2$, график функции представляет собой горизонтальную прямую $y = -2$, которая будет прерываться в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках функции $\operatorname{tg}(\sin x)$ и $\operatorname{ctg}(\sin x)$ не определены.