ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

а)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x>0\\ \sin x>-\frac{1}{2}\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{ctg}x<1\\ \cos x>-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

в)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x<\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \cos x<0\end{array}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{ctg}x>-\sqrt{3}\\ \sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} \operatorname{tg} x > 0 \\ \sin x > -\frac{1}{2} \end{cases}$$

$\operatorname{tg} x > 0$;
Функция возрастает на интервале:
$x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right);$
Равенство выполняется при:
$\operatorname{tg} x = 0;$
$x = \pi n;$
Решение неравенства:
$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$(2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (\pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n);$

$\sin x > -\frac{1}{2}$;
Равенство выполняется при:
$\sin x = -\frac{1}{2};$
$x_1 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$
$x_2 = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$
Решение неравенства:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$
Ответ:
$2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$\pi + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$

б)

$$\begin{cases} \operatorname{ctg} x < 1 \\ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

$\operatorname{ctg} x < 1$;
Функция убывает на интервале:
$x \in (\pi n; \pi + \pi n);$
Равенство выполняется при:
$\operatorname{ctg} x = 1;$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$
Решение неравенства:
$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n;$
$\left( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2\pi n \right);$

$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Равенство выполняется при:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$
$x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
$x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
Решение неравенства:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
Ответ:
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n;$
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

в)

$$\begin{cases} \operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cos x < 0 \end{cases}$$

$\operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;
Функция возрастает на интервале:
$x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right);$
Равенство выполняется при:
$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3};$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n;$
Решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n;$
$\left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \right);$

$\cos x < 0$;
Равенство выполняется при:
$\cos x = 0;$
$x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$x_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$
Решение неравенства:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leqslant \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$
Ответ:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$

г)

$$\begin{cases} \operatorname{ctg} x > -\sqrt{3} \\ \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$

$\operatorname{ctg} x > -\sqrt{3}$;
Функция убывает на интервале:
$x \in (\pi n; \pi + \pi n);$
Равенство выполняется при:
$\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3};$
$\operatorname{ctg}(-x) = \sqrt{3};$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n;$
Решение неравенства:
$\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n;$
$\left( 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) \cup \left( \pi + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \right);$

$\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Равенство выполняется при:
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$
$x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$
Решение неравенства:
$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n \quad (\text{при } n = n+1);$
Ответ:
$2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
$\pi + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$

а) $\operatorname{tg} x > 0$ и $\sin x > -\frac{1}{2}$

1) Решение $\operatorname{tg} x > 0$

Функция $\operatorname{tg} x$ — это тангенс, который возрастает на интервалах $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Когда $\operatorname{tg} x > 0$, тангенс положителен, и это происходит на интервале:

  $$0 < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

• Тангенс становится нулевым в точках $x = \pi n$, а на интервале $\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{3\pi}{2} + \pi n \right)$ тангенс снова положителен.
• Таким образом, решение неравенства $\operatorname{tg} x > 0$ на каждом интервале вида $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$ будет:

  $$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

• Или, если разбить на два интервала:

  $$(2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (\pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n).$$

2) Решение $\sin x > -\frac{1}{2}$

• Рассмотрим, когда синус функции $\sin x$ больше $-\frac{1}{2}$. Синус принимает значения $-\frac{1}{2}$ в точках $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ для всех целых $n$.
• Это означает, что решение неравенства $\sin x > -\frac{1}{2}$ будет на интервале между этими точками:

  $$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

3) Пересечение двух условий

• Для того чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, нужно взять пересечение двух найденных интервалов:
  • Из первого условия $\operatorname{tg} x > 0$ у нас есть интервалы $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
  • Из второго условия $\sin x > -\frac{1}{2}$ получаем $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Теперь пересечем эти два интервала:

• Из $2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ получаем:

$$2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{и} \quad \pi + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{и} \quad \pi + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

б) $\operatorname{ctg} x < 1$ и $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1) Решение $\operatorname{ctg} x < 1$

• $\operatorname{ctg} x$ — это котангенс, который убывает на интервалах $\left( \pi n; \pi + \pi n \right)$.
• Решение неравенства $\operatorname{ctg} x < 1$ будет на интервале, где $\operatorname{ctg} x = 1$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

• Таким образом, решение неравенства $\operatorname{ctg} x < 1$ будет на интервале:

  $$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n.$$

2) Решение $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

• $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ и $x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
• Таким образом, решение неравенства $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ будет на интервале:

  $$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

3) Пересечение двух условий

• Пересечение интервалов $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n$ и $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ даст:

  $$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

в) $\operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\cos x < 0$

1) Решение $\operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$

• $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ при $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
• Тангенс возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, поэтому решение неравенства будет на интервале:

  $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

2) Решение $\cos x < 0$

• $\cos x = 0$ при $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
• Решение неравенства $\cos x < 0$ будет на интервале:

  $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

3) Пересечение двух условий

• Пересечение интервалов $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$ и $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ даст:

  $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

г) $\operatorname{ctg} x > -\sqrt{3}$ и $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

1) Решение $\operatorname{ctg} x > -\sqrt{3}$

• $\operatorname{ctg} x = -\sqrt{3}$ при $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.
• Решение неравенства будет на интервале:

  $$\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n.$$

• Пересечение интервалов даст:

  $$2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad \pi + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

2) Решение $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при $x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
• Решение неравенства $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет на интервале:

  $$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n.$$

3) Пересечение двух условий

• Пересечение интервалов $2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ и $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ дает:

  $$2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

• Пересечение интервалов $\pi + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ дает:

  $$\pi + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \quad \pi + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$