ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$$9x^2-6x+6=(\sqrt{5}-\mathrm{tg}3\pi x)(\sqrt{5}+\mathrm{tg}3\pi x)$$

Решить уравнение:

$$9x^2 — 6x + 6 = (\sqrt{5} — \operatorname{tg} 3\pi x)(\sqrt{5} + \operatorname{tg} 3\pi x);$$ $$9x^2 — 6x + 6 = 5 — \operatorname{tg}^2 3\pi x;$$ $$9x^2 — 6x + 1 = -\operatorname{tg}^2 3\pi x;$$ $$(3x — 1)^2 = -(\operatorname{tg} 3\pi x)^2;$$

Получим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x — 1 = 0; \\ \operatorname{tg} 3\pi x = 0; \end{cases}$$

Решим первое уравнение:

$$3x — 1 = 0;$$ $$3x = 1;$$ $$x = \frac{1}{3};$$

Подставим значение $x$:

$$\operatorname{tg}\left(3\pi \cdot \frac{1}{3}\right) = \operatorname{tg} \pi = 0;$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

Решим уравнение:

$$9x^2 — 6x + 6 = (\sqrt{5} — \operatorname{tg} 3\pi x)(\sqrt{5} + \operatorname{tg} 3\pi x)$$

Раскроем правую часть уравнения с использованием формулы разности квадратов:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$$

Заменим $a = \sqrt{5}$ и $b = \operatorname{tg} 3\pi x$:

$$(\sqrt{5} — \operatorname{tg} 3\pi x)(\sqrt{5} + \operatorname{tg} 3\pi x) = \sqrt{5}^2 — (\operatorname{tg} 3\pi x)^2$$ $$\sqrt{5}^2 = 5, \quad (\operatorname{tg} 3\pi x)^2 = \operatorname{tg}^2 3\pi x$$

Итак, получаем:

$$9x^2 — 6x + 6 = 5 — \operatorname{tg}^2 3\pi x$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$9x^2 — 6x + 6 — 5 + \operatorname{tg}^2 3\pi x = 0$$ $$9x^2 — 6x + 1 + \operatorname{tg}^2 3\pi x = 0$$

Выражаем $\operatorname{tg}^2 3\pi x$ через оставшиеся выражения:

$$\operatorname{tg}^2 3\pi x = -(9x^2 — 6x + 1)$$

Запишем новое уравнение:

$$(3x — 1)^2 = -(\operatorname{tg} 3\pi x)^2$$

Получаем систему уравнений:

Для того чтобы выражение $(3x — 1)^2 = -(\operatorname{tg} 3\pi x)^2$ имело решение, оба выражения должны быть равны нулю, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Таким образом, получаем систему:

$$\begin{cases} 3x — 1 = 0; \\ \operatorname{tg} 3\pi x = 0; \end{cases}$$

Решаем первое уравнение:

$$3x — 1 = 0$$ $$3x = 1$$ $$x = \frac{1}{3}$$

Подставляем $x = \frac{1}{3}$ во второе уравнение:

$$\operatorname{tg}(3\pi \cdot \frac{1}{3}) = \operatorname{tg} \pi$$

Знаем, что:

$$\operatorname{tg} \pi = 0$$

Таким образом, $\operatorname{tg} 3\pi x = 0$, и решение уравнения выполняется при $x = \frac{1}{3}$.

Ответ:

$$x = \frac{1}{3}$$