ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определить знак разности:

а) $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$;

$90^\circ < 200^\circ < 201^\circ < 270^\circ$;

$\frac{\pi}{2} < 200^\circ < 201^\circ < \frac{3\pi}{2}$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на данном отрезке:

$\operatorname{tg} 200^\circ < \operatorname{tg} 201^\circ$;

$\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ < 0$;

Ответ: минус.

б) $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01$;

$-\frac{\pi}{2} < 1 < 1,01 < \frac{\pi}{2}$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на данном отрезке:

$\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1,01$;

$\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01 < 0$;

Ответ: минус.

в) $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$;

$\frac{\pi}{2} < 2,1 < 2,2 < \frac{3\pi}{2}$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на данном отрезке:

$\operatorname{tg} 2,2 > \operatorname{tg} 2,1$;

$\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1 > 0$;

Ответ: плюс.

г) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$;

$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$;

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на данном отрезке:

$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} < \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$;

$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5} < 0$;

Ответ: минус.

Определить знак разности для каждого из выражений.

а) $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$

Шаг 1: Анализ углов

• Углы $200^\circ$ и $201^\circ$ расположены в третьем квадранте. Мы знаем, что третий квадрант находится между углами $180^\circ$ и $270^\circ$, а значит, $200^\circ$ и $201^\circ$ лежат на интервале $(180^\circ, 270^\circ)$.
• В радианах это можно записать как $\frac{\pi}{2} < 200^\circ < 201^\circ < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Свойства функции тангенс

• Функция $\operatorname{tg} x$ возрастает на каждом промежутке вида $(k\pi, (k+1)\pi)$, где $k$ — целое число. В нашем случае, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, функция $\operatorname{tg} x$ возрастает.
• Поскольку $200^\circ < 201^\circ$, то мы знаем, что $\operatorname{tg} 200^\circ < \operatorname{tg} 201^\circ$.

Шаг 3: Знак разности

• Таким образом, разность $\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ$ будет отрицательной:

  $$\operatorname{tg} 200^\circ — \operatorname{tg} 201^\circ < 0$$

Ответ: минус

б) $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01$

Шаг 1: Анализ углов

• Углы $1$ и $1,01$ находятся на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то есть в первом и четвертом квадранте. Это можно записать как $-\frac{\pi}{2} < 1 < 1,01 < \frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Свойства функции тангенс

• На этом интервале $y = \operatorname{tg} x$ тоже возрастает, потому что тангенс имеет свойство возрастать на промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• Поскольку $1 < 1,01$, то $\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1,01$.

Шаг 3: Знак разности

• Таким образом, разность $\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01$ будет отрицательной:

  $$\operatorname{tg} 1 — \operatorname{tg} 1,01 < 0$$

Ответ: минус

в) $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$

Шаг 1: Анализ углов

• Углы $2,1$ и $2,2$ находятся в третьем квадранте, так как $2,1$ и $2,2$ лежат между $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.
• То есть, мы имеем интервал $\frac{\pi}{2} < 2,1 < 2,2 < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Свойства функции тангенс

• Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, поэтому на данном интервале $\operatorname{tg} 2,2 > \operatorname{tg} 2,1$.

Шаг 3: Знак разности

• Разность $\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1$ будет положительной:

  $$\operatorname{tg} 2,2 — \operatorname{tg} 2,1 > 0$$

Ответ: плюс

г) $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$

Шаг 1: Анализ углов

• Углы $\frac{3\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$ находятся в третьем квадранте, так как $\frac{3\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$ лежат между $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.
• То есть, мы имеем интервал $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 2: Свойства функции тангенс

• Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, однако в третьем квадранте $\operatorname{tg}$ принимает отрицательные значения, и на этом интервале значение тангенса уменьшается.
• Таким образом, $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} < \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$.

Шаг 3: Знак разности

• Разность $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5}$ будет отрицательной:

  $$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{5} — \operatorname{tg} \frac{6\pi}{5} < 0$$

Ответ: минус

Итоговые ответы:

а) минус

б) минус

в) плюс

г) минус